Noch'n Reihenwert

29.11.2007, 16:39

Hendrix

Noch'n Reihenwert

Hat jemand eine Idee wie ich vorgehen könnte, um den Wert dieser Reihe zu berechnen?

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{1}{5^3}+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{1}{7^3}+\cdots \end{eqnarray*}$

29.11.2007, 16:53

20_Cent

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Schreib doch erstmal auf, was da überhaupt steht...
mfG 20

29.11.2007, 17:09

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Es sieht ganz nach Reihenwert $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{-\frac{1}{2}}{k}\cdot \frac{e^{(2k+1)x}}{(2k+1)^3} \end{eqnarray*}$

aus. Den Rest hat unser Heimlichtuer offenbar im Sack (s.u.). Augenzwinkern

29.11.2007, 21:40

Hendrix

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RE: Noch'n Reihenwert
Die Binomische Reihe hab ich nicht direkt gesehen...

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{1}{5^3}+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{1}{7^3}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \binom{-\frac{1}{2}}{k}\frac{1}{(2k+1)^3} \end{eqnarray*}$

Und wegen

$\begin{eqnarray*} \int_0^1t^{n-1}\ln^2(t)dt=\frac{2}{n^3} \end{eqnarray*}$

geht's weiter mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n \binom{-\frac{1}{2}}{k}\frac{1}{2}\int_0^1t^{2n}\ln^2(t)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\int_0^1\ln^2(t)\sum_{n=0}^\infty\binom{-\frac{1}{2}}{k}(-t^2)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\ln^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\pi^3}{48}+\frac{\pi}{4}\ln^2(2) \end{eqnarray*}$

29.11.2007, 21:52

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Zitat:

Original von Hendrix
Und wegen

$\begin{eqnarray*} \int_0^1t^{n-1}\ln^2(t)dt=\frac{2}{n^3} \end{eqnarray*}$

Das nächste mal legst du deine Formelsammlung vor. smile

Ich hab immer das dumme Gefühl, du willst uns hier testen und verschweigst einiges an hilfreichen Infos... Teufel

29.11.2007, 22:06

Hendrix

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das nächste mal legst du deine Formelsammlung vor. smile

Hab ich doch hier schon gemacht - im Prinzip wenigstens...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich hab immer das dumme Gefühl, du willst uns hier testen und verschweigst einiges an hilfreichen Infos... Teufel

Na hör mal - ich hab mich gerade mal von dem Tiefschlag erholt, die Binomische Reihe nicht gesehen zu haben, und dann so was... Augenzwinkern

Ich hab tatsächlich erst nach Deinem Hinweis versucht wieder so zu verfahren wie hier.

-Peace-
Hendrix

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