3 Würfel

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Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
3 Würfel
Zwei Spieler würfeln jeweils mit eigenem Würfel. Beide Würfel haben 6 Seiten. Jede Seite fällt mit Wahrscheinlichkeit 1/6. Die Seiten sind mit Zahlen der Menge {1,2,3,4,5,6} beschriftet. Es ist möglich, dass mehrere Seiten dieselbe Zahl tragen. Die größere Zahl gewinnt. Wir nennen den Würfel des i-ten Spielers Wi und sagen W1 ist besser als W2, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 echt größer als 1/2 ist.
Ist es möglich drei Würfel W1, W2, W3 zu konstruieren, dass W1 besser als W2, W2 besser als W3 und W3 besser als W1 ist?

Ich würde sagen ja, aber kann es nicht beweisen, bzw. fällt mir kein Beispiel ein. Kennt jemand die Antwort?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3 Würfel
Ich würde sagen nein, denn vermutlich ist die so definierte "besser"-Relation transitiv (was zu zeigen wäre).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

555511
333333
222266

Transitivität ist bei den Erwartungswerten der Augenzahlen gegeben, hier aber nicht. Augenzwinkern
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
555511
333333
222266

Transitivität ist bei den Erwartungswerten der Augenzahlen gegeben, hier aber nicht. Augenzwinkern


hmm, das könnte klappen, aber kann ich dies auch irgendwie rechnerisch bestimmen oder nur durch ausprobieren?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich angegeben habe, sind die Würfelseitenbelegungen der drei Würfel. Rechnen solltest du jetzt schon selber! Augenzwinkern
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Was ich angegeben habe, sind die Würfelseitenbelegungen der drei Würfel...


Jaja, schon klar.

Aber wenn ich den Erwartungswert berechnen will, habe ich ein Problem.
Bei W1 und W2 ist es einfach: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei W1 bei 2/3 und für W2 bei 1/3
Das bedeutet: 2/3 * 1€ + 1/3 * (-1€) = 1/3 €

Ähnlich bei W2 und W3, aber wie sind die Wahrscheinlichkeiten bei W3 und W1 verteilt? Die 5er schlagen zwar die 2er und die 6er die 1er, aber die 6er schlagen auch die 5er und die 2 die 1er???

Falls mir die Berechnung der Erwartungswerte überhaupt etwas bringt im Bezug zur Lösung der Aufgabe...
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Aber wenn ich den Erwartungswert berechnen will, habe ich ein Problem.

Ich auch: Erwartungswert wovon überhaupt???

Zitat:
Original von Shadow86
Bei W1 und W2 ist es einfach: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei W1 bei 2/3 und für W2 bei 1/3
Das bedeutet: 2/3 * 1€ + 1/3 * (-1€) = 1/3 €

Dito: Von irgendwelchen Auszahlungen ist nirgendwo die Rede.

Zitat:
Original von Shadow86
Falls mir die Berechnung der Erwartungswerte überhaupt etwas bringt im Bezug zur Lösung der Aufgabe...

Warum berechnest du nicht einfach die Gewinnwahrscheinlichkeiten, ohne irgendwelches Auszahlungszeug?
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für W1 zu W2 liegt bei 2/3. Bei W2 zu W3 auch.
Ich schätze mal, dass es für W1 zu W3 auch bei 2/3 liegt, aber ich weiß es nicht genau, aus dem gleichen Grund wie oben. Weil die 5er zwar die 2er schlagen, aber von den 6er geschlagen werden können usw.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für W1 zu W2 liegt bei 2/3. Bei W2 zu W3 auch.

Richtig - in Laplace-Quotienten ausgedrückt jeweils 24/36.

Zitat:
Original von Shadow86
Ich schätze mal, dass es für W1 zu W3 auch bei 2/3 liegt

Nein: Bei W1 gegen W3 schlagen nur die 5en die 2en, das sind 4*4=16 der 36 Möglichkeiten. In allen anderen Kombinationen schlägt umgekehrt W3 den Spieler W1, das sind 20 Kombinationen, also Gewinnwahrscheinlichkeit von W3 gegen W1.
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