Abbildung - Kern und Bild

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Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung - Kern und Bild
Hallo!

Ist das richtig gelöst?

Geg.:

Welche Matrix ist ein Element von Kern(F)?
Welche Matrix ist ein Element von Bild(F)?

a)
b)


Lsg.:
a)
--> kein Element von Kern(F)

--> b=2 und b=-1 --> Widerspruch --> kein Element von Bild(F)


b)
--> Element von Kern(F)
--> b=0 und b=0 --> Element von Bild(F)

Wie beschreibe ich Kern(F) und Bild(F) durch Angabe einer Basis?

Liebe Grüße,

Gernot
Juliana Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Notation ist nicht klar. Ist F eine Funktion, die (a,b,c,d) auf (0,b,b,0) abbildet (sorry, bin grad zu faul den Formeleditor zu verwenden)?

Und interessierst du dich in (a) und (b) fuer die Matrizen (1,2,-1,3) und (3,0,0,3) oder fuer F((1,2,-1,3)) und F((3,0,0,3))? (Ich geh im Folgenden vom ersten Fall aus.)


Vergleich mal die Hauptdiagonale von Matrix (b) mit den Hauptdiagonalen von Matrizen im Bild von F. Faellt dir was auf?

Was fuer ein Problem hast du denn mit den Basen? Es ist schwer dir zu helfen ohne zu wissen, wo's hakt.

Kannst du dir vorstellen, wie Kern(F) und Bild(F) aussehen? Beschreib die beiden doch mal. Wie eine Basis im allgemeinen aussieht weisst du, oder?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Juliana
Vergleich mal die Hauptdiagonale von Matrix (b) mit den Hauptdiagonalen von Matrizen im Bild von F. Faellt dir was auf?

Ich wüßte jetzt nicht, welchen Schluß man daraus ziehen soll.

Offensichtlich wird eine Matrix nur dann auf die Nullmatrix abgebildet, wenn b=0 ist. Überlege, welche Möglichkeiten es für die anderen Komponenten der Matrix gibt, so daß die Familie aus diesen Matrizen eine Basis bildet.
Juliana Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich wüßte jetzt nicht, welchen Schluß man daraus ziehen soll.


Dass anders als vom OP vermutet die Matrix (b) (gemeint ist (3,0,0,3)) nicht im Bild von F liegen kann, weil sie 3en auf der Hauptdiagonalen hat anstatt 0en.
Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Juliana
Deine Notation ist nicht klar. Ist F eine Funktion, die (a,b,c,d) auf (0,b,b,0) abbildet (sorry, bin grad zu faul den Formeleditor zu verwenden)?


Ja, F ist eine lineare Abbildung von M(2 X 2) nach M(2 X 2).

Hab ich das richtig verstanden, dass KEINE der folgenden Matrizen ein Element von Bild(F) sein kann, weil in der Hauptdiagonale Nullen und in der Nebendiagonale die selbe Zahl stehen müsste?

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. smile
Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »

Bleibt noch die Frage nach einer Basis von Kern(F) bzw. Bild(F):

bildet eine Basis von Kern(F)?

bildet eine Basis von Bild(F)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz gewiß nicht, denn der Nullvektor kann niemals Element einer Basis sein. Augenzwinkern
Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ganz gewiß nicht, denn der Nullvektor kann niemals Element einer Basis sein. Augenzwinkern


Ups unglücklich

bildet eine Basis von Kern(F)

bildet eine Basis von Bild(F)

Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Basis von Bild(F) ist ok, Basis vom Kern nicht.
Beachte dim(Kern(F)) + dim(Bild(F)) = dim(V) = 4
Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Basis vom Kern nicht.
Beachte dim(Kern(F)) + dim(Bild(F)) = dim(V) = 4


Diese Dimensionsformel kannte ich noch gar nicht. smile

Also



bildet eine Basis von Kern(F)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude
Gernot- Auf diesen Beitrag antworten »

Ein ähnliches Bsp. lautet:
F... lineare Abbildung von der Menge der symmetrischen 2 X 2 Matrizen auf die reellen Zahlen


Sind meine Lösungen richtig?

a) Die Zahlen 0, -2 und liegen im Bild(F).

b) Die Matrizen und liegen nicht im Kern(F).
Die Matrix liegt im Kern(F).

c) Basis vom Kern(F): {}
Basis vom Bild(F): {2}
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ok, wobei du natürlich als Basis vom Bild(F) auch den Vektor (1) nehmen kannst. Augenzwinkern
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