Integrieren einer blöden Klammer ;)

30.11.2007, 10:59

mad_the_cat

Integrieren einer blöden Klammer ;)

Hallo..
Ich versuche schon seit Ewigkeiten folgende Formel zu integrieren..

$\begin{eqnarray*} 5(2x-4)^5 \end{eqnarray*}$

Die Lösung weis ich auch bereits $\begin{eqnarray*} \frac{5}{12}(2x-4)^6 \end{eqnarray*}$

Wäre sehr nett wenn Ihr mir den Rechenweg erklären könntet..

30.11.2007, 11:04

klarsoweit

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RE: Integrieren einer blöden Klammer ;)
Da kommt es darauf an, welche Voraussetzungen du mitbringst:

a) Kenntnis der allgemeinen Substitutionsregel
b) Kenntnis der Substitutionsregel bei Substitution linearer Funktionen

Im übrigen werden keine Formeln integriert, sondern Funktionen. Augenzwinkern

30.11.2007, 11:08

mad_the_cat

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danke für die Antwort, aber b) nicht bekannt

30.11.2007, 11:22

klarsoweit

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Dann ist wohl a) bekannt. Dann solltest du also u = 2x - 4 substituieren können. Augenzwinkern

30.11.2007, 16:12

Musti

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Übrignes zu b) lautet die Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f(x)=u(rx+s)\Rightarrow F(x)=\frac{1}{r}U(rx+s) \end{eqnarray*}$

30.11.2007, 17:08

mad_the_cat

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Ok Danke..
Ich habe da mal eine ganz grundlegende Frage.. Und ich glaube mir fehlt da eine ganz grundlegende Regel.

wenn ich z.B.: $\begin{eqnarray*} 3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ integrieren möchte habe ich immer innere mal äußere Aufleitung genommen...
das wäre nach meinem Verständniss $\begin{eqnarray*} 3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ja stehen bleibt und das ganze mal die Aufleitung von $\begin{eqnarray*} -4x \end{eqnarray*}$ was da wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(-4)x^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -2x^2 \end{eqnarray*}$
.. Alles zusammen wäre dann $\begin{eqnarray*} 3e^{-4x}(-2x^2) \end{eqnarray*}$

nun sieht das Ergebnis aber richtiger weise $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}e^{-4x} \end{eqnarray*}$ aus und ich weis nicht wo der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ herkommt...

Das ist eigentlich ziemlich ähnlich, wenn nicht sogar das selbe Problem wie bei meiner Eingangsfrage wo ich plötzlich $\begin{eqnarray*} \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ raus hatte

30.11.2007, 17:17

Musti

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$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{a}e^{ax} \end{eqnarray*}$

Hilft das?

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{3}{4}e^{-4x} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig.

30.11.2007, 17:39

kiste

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Zitat:

Original von Mustioder allgemein $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{g(x)}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{g'(x)}e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ .

Das ist offensichtlich falsch

30.11.2007, 17:46

Musti

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Oh Mann grober Fehler ich editiere es dann mal.

30.11.2007, 17:53

mad_the_cat

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o Sry ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4}e^{-4x} \end{eqnarray*}$

so was aber auch.. das taucht bei mir in der Formelsammlung nicht auf 0.o

wenn ich das richtig sehe ist das auch ein ähnliches Problem wie bei meiner ersten Frage oder?
da müsste es dann so heißen: $\begin{eqnarray*} f(x)=a(g(x))^n \Rightarrow F(x)= a\frac{1}{n+1}\frac{1}{g'(x)}g(x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

also wenn ich das richtig sehe ist mein Formelsammlung wohl nicht so ganz vollständig 0.o

Aber noch einmal vielen Dank an alle die mir geholfen haben smile

Vielleicht habt ihr damit ja den Teil meiner Matheklausur gerettet der über Analysis geht Augenzwinkern

30.11.2007, 19:41

Musti

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Zitat:

Original von Musti
Übrignes zu b) lautet die Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f(x)=u(rx+s)\Rightarrow F(x)=\frac{1}{r}U(rx+s) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt mit dieser Formel wurde deine erste Aufgabe berechnet.

Ich zeige dir einfach mal anhand der Aufgabe ein Beispiel.

$\begin{eqnarray*} f(x)=5(2x-4)^5\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}(2x-4)^6=\frac{5}{12}(2x-4)^6 \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$

03.09.2010, 01:23

audir8

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was ist denn hier bitte U und woher kommt das 1/6 her ??
danke im voraus...

03.09.2010, 07:48

Q-fLaDeN

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Vllt. ein bisschen "leichter" erklärt:

Du weist, wie man Potenzfunktionen der Art

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^n \end{eqnarray*}$

integriert, ja? Davon ist die Stammfunktion dann

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Lautet die Funktion nun

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(mx+b)^n \end{eqnarray*}$

(Das obige Beispiel ist hier natürlich auch für m = 1 und b = 0 enthalten.)

dann integrieren wir erstmal wie gewohnt, das heißt wir erhöhen den Exponenten um 1 und teilen durch den neuen Exponenten, was uns dann zu

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{a}{n+1} \cdot (mx+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

führt. Aber Achtung, das ist noch nicht die Stammfunktion, denn wir haben hier eine innere Funktion, deren Ableitung m ist. Leiten wir mal die nun entstandene Funktion ab:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = (n+1) \cdot \frac{a}{n+1} \cdot (mx+b)^n \cdot m = a(mx+b)^n \cdot m \neq f(x) \end{eqnarray*}$

Wir haben hier also ein m zu viel, das wir noch kompensieren müssen, das machen wir natürlich indem wir noch durch m teilen, sodass es beim Ableiten wieder wegfällt.

Unsere Entgültige Stammfunktion heißt dann also

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a}{m(n+1)} \cdot (mx+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Diese Erklärung war jetzt natürlich wenig mathematisch, aber vllt. doch leichter verstänlich. Das Ganze beruht auf der Substitutionsregel wie hier schon angesprochen wurde, die die Integration dann sozusagen mathematisch beschreibt.
Achtung: Diese Integration, die ich hier gemacht habe, gilt nur für lineare innere Funktionen $\begin{eqnarray*} h(x) = mx+b \end{eqnarray*}$ ! (Denn andernfalls wäre die innere Ableitung von x abhängig, was das ganze ein bisschen schwieriger macht.)
Bei allen Integrationen hab ich die additive konstante mal C = 0 gewählt, oder anders gesagt, weggelassen, da es hier ja erstmal um die Integration dieser Art von Funktionen geht.

Achja, noch zu dem von Musti:
u ist hier eine beliebige Funktion, also keine Variable.

03.09.2010, 15:05

audir8

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hey danke. ich habs jetz gecheckt glaub ich . lg peeeace.. Augenzwinkern

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