Erzeugende Funktion

30.11.2007, 11:37	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugende Funktion Hallo, ich soll die erzeugende Funktion für folgende Zähldichte bestimmen: f(k) = 1/(k²+k) (k größer gleich 1) Die bekomme ich doch folgendermaßen: f°(k) = Summe k=1 bis unendlich von 1/(k²+k) * z^k Da weiß ich leider nicht weiter..wie kann ich denn hier das Summenzeichen wegbringen?? muss dann nämlich noch den EW und die Varianz berechnen, und dafür muss ich ja ableiten... gruss und danke
30.11.2007, 13:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst versuchen, den Reihenausdruck $\begin{eqnarray} f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{z^k}{k^2+k} = \sum_{k=1}^{\infty} ~ \left( \frac{z^k}{k} - \frac{z^k}{k+1} \right) \end{eqnarray}$ in eine "geschlossene" Form zu bringen. Dabei hilft die Reihenentwickluing des Logarithmus - genauer gesagt die von $\begin{eqnarray} \ln(1-z) \end{eqnarray}$ ...
30.11.2007, 14:52	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich ln(1-z) entwickle kommt doch -(Summe von 1 bis unendlich) z^k/k raus, oder?? das ist aber doch nur der eine teil davon, was passiert mit dem rest??
30.11.2007, 14:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir der Begriff "Indexverschiebung" irgendwas?
30.11.2007, 15:03	ameise1984	Auf diesen Beitrag antworten »
ja schon, hab ich aber noch nie so ganz verstanden...
30.11.2007, 15:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also bei der zweiten Reihe in $\begin{eqnarray} f(z) =\sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{z^k}{k} - \sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{z^k}{k+1} \end{eqnarray}$ läuft das so ab: Indexverschiebung $\begin{eqnarray} j=k+1 \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{z^k}{k+1} = \sum_{j=2}^{\infty} ~ \frac{z^{j-1}}{j} = \frac{1}{z} \sum_{j=2}^{\infty} ~ \frac{z^j}{j} \end{eqnarray}$ Aber beachten, dass die letzte Reihe erst bei Index $\begin{eqnarray} j=2 \end{eqnarray}$ anfängt, also nicht schon bei $\begin{eqnarray} j=1 \end{eqnarray}$ ...
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