Beweis 1/e

30.11.2007, 13:46

hxh

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Beweis 1/e

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \biggl(1-\frac{1}{n}\biggl)^{n} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Der grenzwert e wurde schon mal bewiesen, also nehm ich ihn mir dazu.

$\begin{eqnarray*} e:= \biggl(1+\frac{1}{n}\biggl)^{n} \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich

$\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid \biggl(1-\frac{1}{n}\biggl)^{n} -\frac{1}{e} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

e würde ich nun ersetzen

$\begin{eqnarray*} \mid \biggl(1-\frac{1}{n}\biggl)^{n} -\frac{1}{\biggl(1+\frac{1}{n}\biggl)^{n} } \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist der ansatz ok oder muss ich das anders angehn ?

30.11.2007, 13:57

Tomtomtomtom

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Was habt ihr bewiesen? Nur

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \longrightarrow e \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \longrightarrow e^x \end{eqnarray*}$ ?

Im letzteren Fall ist das ganze ja trivial. Ansonsten ist der Ansatz zwar richtig, aber nicht besonders zielführend. Man sollte eher immer versuchen, den Ausdruck so umzuformen, daß man den bekannten Grenzwert für e einsetzen kann, etwa so:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)} \end{eqnarray*}$

Das ist in deinem Fall ncoh relativ einfach, wenn man schon weiß, wo man hinwill.

30.11.2007, 14:06

tmo

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der ansatz ist nicht gut. denn es gilt $\begin{eqnarray*} e \neq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

besser ist:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

30.11.2007, 14:12

hxh

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Der Epsiolon beweiß ist also überflüssig ? Ich spiel mal bissl mit dem Term von tmo rum smile

smile

30.11.2007, 14:21

tmo

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ja der ist überflüssig, denn du kannst es mit den grenzwertsätzen einfacher zeigen.

allerdings solltest du den term von 4Tom nehmen, denn da ist es nur noch ein schritt bis zum ergebnis. bei meinem sind es noch 2 oder 3 Big Laugh

Big Laugh

30.11.2007, 14:25

hxh

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Danke euch beiden habs raus Wink

Wink

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30.11.2007, 15:29

hxh

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Hab mal tmo s Idee versucht umzuformen aber irgendwie komm ich nicht ganz dahin wo ich hin will wo ist mein fehler verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\biggl(\frac{n^{2}-1}{n^{2}} \biggl)^{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\biggl(\frac{n^{2}}{n^{2}-1} \biggl)^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\biggl(\frac{n^{2}}{n^{2}-1} \biggl)\right)^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\biggl(\frac{n}{n-1} \biggl)^{n}} \end{eqnarray*}$

mh entweder stimmt was ned oder ich komm nicht zum ende

30.11.2007, 15:41

Tomtomtomtom

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Das Endergebnis stimmt, aber das hättest du auch einfacher haben können. Freude

Freude

30.11.2007, 15:46

tmo

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Zitat:

Original von hxh
Hab mal tmo s Idee versucht umzuformen aber irgendwie komm ich nicht ganz dahin wo ich hin will wo ist mein fehler verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\biggl(\frac{n^{2}-1}{n^{2}} \biggl)^{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

hier hättest du aufhören können, denn mit bernoulli lässt sich leicht zeigen, dass der zähler gegen 1 konvergiert

30.11.2007, 15:49

hxh

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Hammer

das kommt davon, wenn man nicht mehr mit heranzieht

Gott

Gott

Gott

30.11.2007, 16:06

hxh

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mach ich das mit bernoulli so ?

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n²})^{n} \geq 1 - n * \frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$

dann seh ich das ja für n gegen unendlich geht das ganze gegen 1

30.11.2007, 16:14

tmo

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in der aufgabe ist da aber ein minus Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2007, 16:27

hxh

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stimmt ^^ was ja an der abschätzung nicht groß viel änder weil der teil gegen null geht

30.11.2007, 16:31

tmo

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ja so ist es.

letztendlich ist es dann folgendes sandwich:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \geq 1- \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

30.11.2007, 16:34

Lazarus

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wieso macht ihr euch das Leben so schwer ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{m\to \infty} \left(1-\frac{1}{-m}\right)^{-m} = \lim_{m\to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^{-1} = \left( \lim_{m\to \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^{-1} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

qed

30.11.2007, 16:36

tmo

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hmm irre ich mich oder kann man das nur für x > 0 (also wenn der zähler in der klammer größer 0 ist) anwenden.

denn du substituierst $\begin{eqnarray*} -m = n \end{eqnarray*}$
und dann stimmt das mit dem $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ nicht mehr.

30.11.2007, 16:38

Lazarus

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nein. setz mal probeweise ein.da steht ja überall -m hin, also geht für m gegen unendlich -m gegen -unendlich.

30.11.2007, 16:53

tmo

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es geht doch ursprünglich n gegen unendlich und wegen -m = n geht dann m gegen minus unendlich. verwirrt

verwirrt

ich hatte den beweis auch schon so im sinn, nur dann hab ich eben genau diese zweifel gekriegt, die ich im moment habe. dass das richtige ergebnis rauskommt, ist ja offensichtlich. nur ist das doch allgemein die falsche vorgehensweise, oder?

30.11.2007, 17:07

Tomtomtomtom

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Also ich glaub ich hab da auch nen Knoten im hirn. Dann müßte ja auch gelten

$\begin{eqnarray*} \infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n=\lim_{m\rightarrow\infty}-m=-\infty \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber falsch?

Ich glaube bei diesem Beweis macht man zweimal denselben Fehler, der sich dann aufhebt. Einmal in der Klammer, der führt dazu daß man e statt e^-1 berechnet, und dann nochmal im Exponenten, der gleicht das wieder aus.

30.11.2007, 17:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lazarus
nein. setz mal probeweise ein.da steht ja überall -m hin, also geht für m gegen unendlich -m gegen -unendlich.

Ich denke auch, daß das so nicht geht.

30.11.2007, 17:13

tmo

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dass es bei dieser folge klappt, liegt an

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n = e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

aber das müsste man ja auch vorher noch zeigen, sodass sich jetzt die frage stellt, wer sich das leben schwer macht Big Laugh

Big Laugh

30.11.2007, 17:15

Lazarus

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Ja stimmt, das hängt irgendwie schief.
Naja gut, lassen wir es mal mit dem letzten Verweis von tmo als Alternativlösungsweg so stehn Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2007, 17:17

Tomtomtomtom

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Und die erste Identität in tmo's letztem Post ist ja genau die ursprüngliche Aufgabenstellung.

30.11.2007, 17:19

tmo

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wo wir bei einem klassischen zirkelschluss angekommen wären Augenzwinkern

Augenzwinkern

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