2 Punkte im Raum Abstand verkürzen

30.11.2007, 19:41

me2

2 Punkte im Raum Abstand verkürzen

Hallo,

ich brauch mal eure Hilfe bei der Vektorrechnung. Es geht um folgendes. Es sind zwei Punkte im Raum gegeben, $\begin{eqnarray*} P1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ich kann die Geradengleichung wie folgt ausrechnen:
g = P1 + (P2-P1) -> $\begin{eqnarray*} g= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+k* (\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus.
So weit so gut. Auch die Länge der Geraden kann ich wie folgt berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4²+6²+8²} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{116} \end{eqnarray*}$

wie kann ich herausfinden, wo der Punkt 1 liegen muss, wenn die Strecke um 1 verkürzt werden soll?

30.11.2007, 19:59

Dunkit

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RE: 2 Punkte im Raum Abstand verkürzen

Zitat:

Original von me2
Auch die Länge der Geraden kann ich wie folgt berechnen:

Autsch... Geraden haben keine Länge im eigentlichen Sinne. Sie sind unendlich lang!
Was du wahrscheinlich berechnen willst: Wo auf der Gerade muss der Punkt Q liegen, sodass er 1 vom stützpunkt entfernt ist?

01.12.2007, 02:25

mYthos

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D musst den Punkt P1 um die Strecke 1 auf der Geraden in Richtung zu P2 verschieben. Dazu normierst du den Richtungsvektor, d.h. du dividierst ihn durch die eigene Länge, eben durch die von dir richtig berechnete. Diesen normierten Vektor oder Einheitsvektor setzt du nun in P1 in Richtung P2 an (du addierst ihn zum Ortsvektor von P1) und gelangst so zu dem gesuchten Punkt.

mY+

02.12.2007, 09:23

me2

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@Dunkit:

Du hast vollkommen recht, ich möchte nicht die Länge der Geraden durch die Punkte P1 und P2 berechnen, sondern die Strecke / Abstand zwischen den zwei Punkten.

@mYthos:

Wenn ich dann den Einheitsvektor berrechnet habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{116}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ addiere ich noch den Punkt P1 dazu: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{116}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so dass herauskommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{116}} \cdot \begin{pmatrix} 4+\sqrt{116} \\ 6+\sqrt{116} \\ 7+\sqrt{116} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und wenn die Wurzel ausgerechnet wird: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,37 \\ 1,56 \\ 1,65 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dieser Punkt ist dann um den Abstand 1 vom Punkt P1 entlang der Geraden in Richtung P2 verschoben?!

Gruß me2

02.12.2007, 14:48

mYthos

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Du hast einen Fehler bei der letzten Koordinate des Richtungsvektors, die ist 8 und nicht 7. Somit ist das Resultat

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{116}} \cdot \begin{pmatrix} 4+\sqrt{116} \\ 6+\sqrt{116} \\ 8+\sqrt{116} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,37 \\ 1,56 \\ 1,74 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du kannst das überprüfen, denn es muss ja dann sein

$\begin{eqnarray*} 0,37^2 + 0,56^2 + 0,74^2 \approx 1 \end{eqnarray*}$

mY+

02.12.2007, 15:45

me2

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Danke mYthos für die Korrektur.
Noch eine weitere Frage:
Wenn ich nun den Punkt nicht um die Strecke 1 sondern um 3 verschieben möchte, muss ich noch den normierten Richtungsvektor mit 3 multiplizieren und dann erst addieren, korrekt?

Gruß me2

02.12.2007, 19:32

mYthos

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So ist es! smile

mY+

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