Konvergenz

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oerny Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Hallo, ich habe eine Aufgabe, die mir logisch eigentlich relativ klr ist nur rechnerisch bekomm ichs nicht hin

also:
Man zeige für eine Folge positiver Zahle gilt:
ist konvergent, dann ist
divergent.
Gilt auch die Umkerhrung

Also logisch ist mir klar, dass das divergent sein, muss, ich zähl ja am ende immer das gleiche dazu.
eine Majorante oder Minorante habe ich nciht gefunden.
ich hab nun versucht mit dem quotientenkriterium das ganze zu bestimmen, komme dabei aber auf 1 also keine aussage, dann hab ich das wurzelkriterium versucht, was mir folgendes liefert:
da der Zähler immer größer 1 ist. damit wäre das ganze konvergent, wo liegt mein fehler? Ich vermute in der k-ten Wurzel, die vermutlich nicht >1 ist , aber wie überprüfe ich sowas? (bzw. wir haben in unsem Skript das <1 nicht aussreicht für konvergenz, aber was brächte ich dazu noch?)
und wie löse ich dann die aufgabe, ich muss doch wenn die Kriterien 1 liefern auf beschränktheit prüfen, aber wie schreibe ich sowas?
und wie beweise ich den offensichtlich falschen umkehrschluss?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

zeige, dass keine nullfolge ist.

den umkehrschluss kannst du durch ein beispiel widerlegen. stichwort: harmonische reihe.

PS: dein fehler beim wurzelkriterium liegt darin, dass der limes superior dieses ausdrucks 1 ist.
dann kannst du keine aussage mit hilfe diesem kriterium machen.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

hi, auf das gegenbsp für die rückrichtung bin ich auch shcon gekommen.

aber wie zeige ich ob etwas eine oder keine nullfolge ist, stehe grad auf dem schlauch.

und nochmal was zum wurzelkriterium:
1. warum haben wir in unserer vorlesung gemacht, das <1 nicht ausreicht für konvergenz bzw das gilt ist der limes <1 dann ist das ganze konvergent oder gilt das auch nicht immer, so wie bei <1 oben?
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

habs jetzt nochmal versucht, weis aber immernoch nicht wie ich zeigen kann das etwas keine nullfolge ist, durch überlegen oder sieht man doch kann ich ja nicht hinschreiben oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nach vorraussetzung ist eine nullfolge.

dann kann man z.b. ziemlich grob abschätzen:



jetzt den kehrwert bilden und dann steht da eine abschätzung, welche für unendlich viele k gilt. daraus folgt die behauptung.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal möcht enur nochmal wissen ob ich das richtig verstanden habe:

also, ich nehm als grobe Abschätzung für eine Nullfolge (muss es ja sein da es konvergiert oder?) einfach eine Zahl kleiner 0 und eine größer 0 hier -1/2 und +1/2 dann addiere ich 1 und bilde den Kehrwert damit folgendes da steht:
was eindeutig keine Nullfolge ist, damit ist das ganze divergent. (das heißt für unendlich große k, addiere ich immer einen wert zwischen 2/3 und 2 dazu, damit wächst der ausdruck immer weiter)
hab ich das richtig verstanden

jetzt nochmal was allgemeines!!!
kann ich so auch eine Nullfolge nachweisen, oder sollte ich da so abschätzen, das dort steht >= 0 und kleiner irgendwas? Bzw. erkenn ich aus deiner Abschätzung das das eine Nullfolge ist, könnte doch auch gegen 1/8 gehn?
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ja du hast das richtig verstanden.

und zu deiner weiteren frage.

es gilt

ist Nullfolge für unendlich viele k.

allerdings gilt nicht der umkehrschluss, wie du richtig bemerkt hast.
aber der ist in dieser aufgabe ja auch nicht wichtig.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir trotzdem kurz andeuten wie ich einen umkehrschluss machen muss, nur zum verständnis bzw. der vollständigkeit in meinem kopf verwirrt Augenzwinkern
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