Laplace-Wahrscheinlichkeiten im abzählbar Unendlichen

21.04.2005, 14:08

therisen

Laplace-Wahrscheinlichkeiten im abzählbar Unendlichen

Hi,
in einem Thread schrieb Arthur Dent:

Zitat:

1.Laplaceexperiment ist nur für endlich viele Versuchsausgänge denkbar.

Bedeutet das, dass solche Fragestellungen wie
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl gerade ist?" nicht als Laplace-Experiment aufzufassen sind? Also p(gerade) ungleich 50%?

Gruß, therisen

21.04.2005, 14:17

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Schau dir mal solche Fragestellungen genau an - die finden immer nur auf einem endlichen Teilbereich der natürlichen Zahlen statt. Und da sind sie ja auch durchaus sinnvoll.

Auf der Menge aller natürlichen Zahlen dagegen nicht - wie soll denn dieses gleichwahrscheinliche Auswürfeln solcher Zahlen geschehen, das geht ganz einfach nicht!

EDIT: Siehe auch die kürzlich stattgefundene Diskussion

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=15653

21.04.2005, 14:22

therisen

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Schau dir mal solche Fragestellungen genau an - die finden immer nur auf einem endlichen Teilbereich der natürlichen Zahlen statt.

Zitat:

Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuche folgende Eigenschaften der ausgewählten Zahl auf ihre Unabhängigkeit:
a) Teilbarkeit durch 2; Teilbarkeit durch 3

Stur nach Formel:
P(2n)*P(3n)=P(2n und 3n)

Tja, was ist denn nun P(2n)? Da wären wir bei meinem Problem. Soll ich einfach hinschreiben: "Die Aufgabe ist unfug" Big Laugh

?

Gruß, therisen

21.04.2005, 14:27

JochenX

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stimmt auf jeden fall nicht für jede endliche teilmenge der natürlichen zahlen

M={1,2,3,4,5}

mfg jochen

21.04.2005, 14:30

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Zitat:

Original von therisen
Soll ich einfach hinschreiben: "Die Aufgabe ist unfug" Big Laugh

Genau so verhält es sich. Wenn du maßtheorie-erprobt bist, kannst du dir auch mal

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=146282#post146282

anschauen. Augenzwinkern

EDIT:

Eine andere Überlegung: Man betrachte die Gleichverteilung auf { 1, 2, ... , N } und dann z.B. Aussagen der Art

$\begin{eqnarray*} A_N \end{eqnarray*}$ ... eine ausgewählte Zahl ist gerade

die die Eigenschaft haben, dass $\begin{eqnarray*} P(A_N) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert - hier bei den geraden Zahlen wie gewünscht gegen 1/2.

Dann ergibt sich aber auch für

$\begin{eqnarray*} B_N \end{eqnarray*}$ ... eine ausgewählte Zahl ist kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{1000} \end{eqnarray*}$

die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(B_N)\to 0 \end{eqnarray*}$ , oder noch schlimmer

$\begin{eqnarray*} B_N \end{eqnarray*}$ ... die ausgewählte Zahl hat eine gerade Anzahl Dezimalstellen

überhaupt keine Konvergenz für $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ !

21.04.2005, 14:42

therisen

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Leider habe ich keine Ahnung von Maßtheorie. Ich weiß nur jetzt mit 99% Sicherheit, dass mein Lehrer die Aufgabe mit p(2n)=1/2 etc. lösen wird. Da brauch ich irgendwas, das meine Argumentation stärkt. Soll ich das Beispiel von dir mit der Sigma-Algebra ausdrucken Big Laugh

?

EDIT: Ok, ich glaube dein EDIT oben beantwortet meine Frage, was ich vorweisen soll.

Leider soll man bei der Teilaufgabe c) die Aufgaben a) und b) für das endliche Intervall (0;9) lösen Big Laugh

EDIT 2: Mir fällt gerade auf, dass ich nur a) und b) machen muss (also gar nix) Freude

Gruß, therisen

21.04.2005, 21:27

therisen

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Erstmal sorry für den Doppelpost, aber das muss jetzt abschließend sein.

Ich habe mal den Beweis von papahuhn, dass es keine Gleichverteilung für abzählbar unendliche Mengen (hier $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) gibt, ein wenig "aufgepeppt" (sprachlich und formal) und teilweise korrigiert und mein Ergebnis hier mit angehängt. Vielleicht kann ja jemand noch bestätigen, ob alles so passt.

Gruß, therisen

22.04.2005, 17:03

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Ist das eine neue zoologische Gattung, der Überabzahlbär ? Augenzwinkern

Spaß beiseite - ich würde das Wort an der Stelle dort ganz weglassen, denn (Über-)Abzählbarkeit betrachtet man gewöhnlich nur bei Mengen, und nicht bei Abbildungen, obwohl man das da auch in geeigneter Weise definieren kann - z.B. als Synonym für die (Über-)Abzählbarkeit des Definitionsbereiches.

Obwohl es eigentlich klar ist, schadet es bei (3) nicht, nochmal die Bedingung " $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ abzählbar" mit anzugeben. Die Verwendung des Summensymbols auf der rechten Seite impliziert das zwar (es gibt keine überabzählbaren Summen!), dagegen ist die Vereinigung links durchaus auch für überabzahlbare $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ definiert.

Ansonsten habe ich aber nix zu meckern. Freude

EDIT: Einen $\begin{eqnarray*} \mbox{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Hinweis hätte ich noch: Die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} Pot(\Omega) \end{eqnarray*}$ schreibt man sehr oft schön schnörkelig $\begin{eqnarray*} \wp(\Omega) \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\wp(\Omega)[/latex]

Ist zwar kein Muss, aber sieht doch ganz nett aus, oder?

22.04.2005, 18:39

therisen

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Lol, Arthur, na klar gibts den Überabzahlbär:

http://www.andreaonline.de/sydney/zoo/baer.JPG
Sag bloß, du kanntest den noch nicht Big Laugh

Leider hatte ich heute wenig bzw. gar keinen Erfolg bei meinem Lehrer. Als ich sagte, dass Laplace-Wahrscheinlichkeiten nur im Endlichen möglich/definiert sind, meinte er: "Naja, eigentlich schon, aber hier nicht. (...) Der gesunde Menschenverstand sagt einem ja auch, dass $\begin{eqnarray*} P(gerade)=1/2 \end{eqnarray*}$ ist."

In meiner Not habe ich ihm dann gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit P(gerade Zahl) nur eine Grenzwahrscheinlichkeit ist, und solche Aussagen wie eine gewählte Zahl ist kleiner als 1000 dann die Wahrscheinlichkeit p=0 haben müsste.
Darauf erwiderte mein Lehrer:

Zitat:

In unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen ist es durchaus möglich, dass mögliche Ereignisse die Wahrscheinlichkeit P=0 haben (...) Jedoch ist die Summe aller Ereignisse dann wieder 1.

Meinen Beweis hat er mit der gleichen Begründung zurückgewiesen.

Außerdem meinte er, man könne das alles (irgendwie) definieren und dann würde es passen.

unglücklich

Was haltet ihr davon?

Danke nochmal für deine intensiven Bemühungen Arthur Freude

Und ja, $\begin{eqnarray*} \wp(\Omega) \end{eqnarray*}$ sieht wirklich chique aus smile

Gruß, therisen

22.04.2005, 18:44

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Zitat:

Original von therisen
Meinen Beweis hat er mit der gleichen Begründung zurückgewiesen.

Außerdem meinte er, man könne das alles (irgendwie) definieren und dann würde es passen.

Gib mir mal die Adresse von deinem Lehrer - vielleicht akzeptiert er die Kompetenz eines Mathematikers, der in Stochastik promoviert hat.

EDIT: Natürlich nur, wenn du willst. Auf alle Fälle kannst du ihn fragen, wie er sich über einen völlig exakt ausgeführten Beweis einfach hinwegsetzen kann!

22.04.2005, 19:05

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Nochmal zu

Zitat:

In unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen ist es durchaus möglich, dass mögliche Ereignisse die Wahrscheinlichkeit P=0 haben (...) Jedoch ist die Summe aller Ereignisse dann wieder 1.

Mit diesem Zitat hat dein Lehrer endgültig seine Inkompetenz bewiesen:

Natürlich spielt er auf stetige Verteilungen an, ignoriert dabei aber völlig die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Genauer gesagt, jedes Intervall [a,b] mit a<b enthält überabzählbar viele Punkte, und daher ist für stetige Zufallsgrößen X folgende Rechnung

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b)\stackrel{?}{=}\sum_{x\in[a,b]} P(X=x) \end{eqnarray*}$

völliger Unsinn, regelrecht verboten. Wie ich oben beim $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ schon schrieb, gibt es schlicht keine überabzählbaren Summen! Wie soll man die den definieren? Frag das mal deinen Lehrer!

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