Münzwurf

02.12.2007, 19:47

Shadow86

Münzwurf

Zwei Spieler A und B werfen n-mal in unabhängiger Folge eine (faire) Münze. Tritt Kopf auf, so zahlt B einen Euro an A, tritt Zahl auf, ist es umgekehrt. $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ bezeichne den Kontostand von Spieler A nach n Spielen. $\begin{eqnarray*} S_0=0 \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(-100 \leq S_n\leq 100) = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann einfach

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(-100 \leq S_n\leq 100) = \lim_{n \to \infty} (P(S_n\leq 100) - P(S_n\leq -100)) = \lim_{n \to \infty} (\phi(100) - \phi(-100)) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

schreiben, aufgrund der Symmetrie der Verteilungsfunktion?

02.12.2007, 20:18

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Zitat:

Original von Shadow86
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\phi(100) - \phi(-100)) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht: Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\Phi(100) - \Phi(-100)) = \Phi(100) - \Phi(-100) \approx 1 \end{eqnarray*}$

Im übrigens hat der Term $\begin{eqnarray*} \Phi(100) - \Phi(-100) \end{eqnarray*}$ nichts, aber auch gar nichts mit dem vorliegenden Problem zu tun. Informier dich mal ein wenig über Normalverteilungsapproximation

der Binomialverteilung, und/oder
allgemeiner über den ZGWS (Zentraler Grenzwertsatz),

statt nur zu raten. $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist zwar approximativ normalverteilt, aber nicht standardnormalverteilt!

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