Integrieren durch Substitution

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L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren durch Substitution
Hallo,
Ich habe eine Hausaufgabe, bei der Ich nicht weiterkomme. Wie immer haben wir das nicht im Unterricht gemacht, sondern wieder mal ein ganz neues Thema eben als Hausaufgabe aufbekommen.
Also, so sieht's aus :
Berechnen sie das Integral mit einer geeigneten Substitution.


Dazu habe Ich mir schon einmal folgendes überlegt :



Neue Grenzen :
1 -> 1
2 -> 3



Aber damit kann Ich auch nicht viel mehr anfangen als mit der Ausgangsfunktion :-(
Muss Ich g(x) anders wählen oder wie soll Ich so weiterrechnen?
Vielen Dank
MFG
L

EDIT : Absatz zur Übersichtlichkeit hinzugefügt
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren durch Substitution
Die Substitution ist wohl voll gegen den Sand gelaufen. Das ist nicht korrekt was du gerechnet hast.

Wenn du substituierst, sollte dein Ziel sein, alle "alten" Variablen wegzubekommen, d.h ein Integral in einer neuen Variablen herzustellen. Du willst zwar im neuen Integral nach z integrieren, hast aber immer noch x drin.

Das musst du alles ersetzen.

Meiner Ansicht nach klappt die Lösung mit der Substitution. Schreibe also nochmal auf.
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas hab Ich mir schon gedacht unglücklich
Aber wie soll Ich das x wegbekommen ?
Soll Ich den ganzen Term als g(x) nehmen ?
Aber dann wäre die Ableitung nur mit der Quotientenregel zu machen und dann hab Ich da wieder ganz viele X, die vor dem Integral stünden unglücklich
Oder wie meinste des ?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Also folgendes:

Du setzt

. Dann ist

Ferner ist



Du ersetzt jetzt also in deinem Integral durch u und die restlichen x durch den obigen Ausdruck für x. Außerdem ersetzt du bitte das dx.

Verstanden so weit?
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren durch Substitution
Also so?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren durch Substitution
Bis auf eine Kleinigkeit. Es ist ja



Das musst du natürlich auch substituieren. Dann rechne das mal aus...
 
 
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »


Also so?
Aber was nützt das mir beim substituieren ?
Kann Ich substituieren?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das würde ich nicht machen. Einfach mal ein wenig umformen das ganze. Dann kommt ein ganz erträgliches Integral raus.

Wenn du deine geplante Substitution durchführst, kommt du wieder auf dein Ausgangsintegral Augenzwinkern
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe f(u) ausmultiplidivisubtraaddiert und habe nun :


Noch ein Problem :
Da steht ja

Wie mache Ich das dann ? Muss Ich das ganze Integral dann einfach durch 2 Teilen ? Oder mit 2 mal nehmen ? Sowas hatten wir noch nie :S

Edit VR: Klammern hinzugefügt.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht ganz. Im Zähler bitte nochmal nachrechnen. Anstatt einer 3 sollte eine 7 stehen. Im Nenner fehlt noch das u. Die 2 kannst du vor das Integral ziehen, ist ja eine Konstante.
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »


Hab vergessen, die 1 mit 5 zu multiplizieren Hammer
Aber das haben wir schonmal^^
Also lautet das Integral :



Aber dann habe Ich ja wieder ein Integral, in dem im Zähler ganz viele Variablen sind unglücklich

pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

(Es wäre vielleicht in Zukunft zweckmäßiger erst eine Polynomdivision durchzuführen und dann das Restglied mittels Substitution zu integrieren.)
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Polynomdivision geht hier aber nicht gerade auf, da bleibt ein Rest über :S
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
(Es wäre vielleicht in Zukunft zweckmäßiger erst eine Polynomdivision durchzuführen und dann das Restglied mittels Substitution zu integrieren.)
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

*Kopf vor die Wand schlag*
Sorry unglücklich

Haste das mal durchgerechnet ?
Habe da raus :
Dann könnte man einfach 8x-4 substituieren und das klingt eigentlich schaffbar^^ Die 7 könnte man doch davorziehen, oder? Also 7 mal dieses Integral.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt soweit und die 7 kannst du vorziehen.
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann habe Ich es anscheinend geschafft ^^
Nur eine Sache verstehe Ich nicht :
Gebe Ich meine Ausgangsfunktion ins Integrieren-Tool ein, dann zeigt er mir folgendes an:

Gebe Ich aber meine Polynomdividierte Funktion ein, zeigt er folgendes an :

Sie unterscheidet sich im ln von der Ausgangsfunktion, ist aber doch eigentlich nur eine umgeformte Version ersteren oO Habe auch dieses Ergebnis raus, also mit dem ln(8x-4).
Welche Integralgrenzen muss Ich da einsetzen? Ich habe 1 und 2 eingesetzt, aber weil Mathetools mir 2 verschiedene Stammfunktionen anzeigt, weiss Ich nicht mehr weiter unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig bestimmt. Man hat die Freiheit, eine beliebige Konstante zu addieren (und sofern man Stammfunktionen über Intervallen betrachtet, ist das auch die einzige Freiheit). So sind z.B.



beide richtig. Das Gleichheitszeichen hat im Zusammenhang mit unbestimmten Integralen nicht die übliche Bedeutung, sondern kennzeichnet die "Gleichheit bis auf eine additive Konstante". Das ist nicht ganz unproblematisch, weil es dem sonstigen Gebrauch widerspricht (0=2007 ???), aber historisch so gewachsen.

Zu deinem Fall:



Und jetzt verwende ein Logarithmusgesetz.
Beachte auch den Definitionsbereich des Integranden. Für sind nämlich beide Ergebnisse falsch. Warum?
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Logarithmusgesetz : ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Aber dann habe Ich da ln(4) stehen, und die Ergebnisse sind dementsprechend auch nicht diesselben. Aber mein Weg ist eh falsch ^^ Wenn ich schon substituiere müsste Ich ALLE x durch z's ersetzen. Und das habe Ich nicht gemacht ^^ Nach der Polynomdivision ist es allerdings gar nicht mehr notwendig zu substituieren - Man kann direkt aufleiten. Dementsprechend bleiben die Grenzen beim alten.
Haben auch die Substitutionsmethode mit den U's gemacht, nach ausmultiplizieren ging das auch alles Augenzwinkern
Es waren also beide Ansätze richtig, wobei der eine wohl leichter war.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast auf Leopolds Kommentar noch nicht geachtet bzgl. des Definitionsbereichs.

Richtig. Beide Wege führen zum Ziel, wenn man den Überblick bewahrt und richtig umformt. War für dich halt mal ein gutes Beispiel, eine Substitution durchzuführen.

@pseudo-nym: da der Titel Substitution enthielt, dachte ich, die Aufgabe muss mit Substitution gelöst werden Augenzwinkern

Ach: Es heißt Integrieren, nicht aufleiten böse
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Ich eine Zahl einsetze die kleiner als 0,5 ist, dann nimmt der Logarithmus innendrin eine negative Zahl an - und es gibt keine Logarithmen von negativen zahlen.
Okay, integrieren^^ War mir nicht ganz sicher, wie das zu sagen ist :S
Ja, die Aufgabe war gut, und weil unser Mathelehrer nun denkt wir können alle alles perfekt haben wir mal wieder ein dickes Aufgabenpaket aufbekommen ^^ Ich denke, Ich werde bald nochmal ein paar Impulse brauchen, aber Ich versuchs erstmal alleine ^^
Vielen Dank Wink
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