momentenmethode

21.04.2005, 14:41	jal	Auf diesen Beitrag antworten »
momentenmethode hallo... hab mir die definiton schon angeschaut aber blicke irgendwie nicht durch wie die genau funktioniert. also angenommen ich hab eine stichprobe, was benötige ich jetzt für die Momentenmethode? muss ich jetztauch wissen welche verteilung die stichprobe besitzt? könnt ihr mir eventuelll an einem bsp die momentenmethode erklären, bei wikipedia ist schon ein bsp für die normalverteilung aber wie gesagt verstehe nicht ganz was die da genau gemacht haben. mfg jal
21.04.2005, 14:43	jal	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, tut mir leid.... falsches board, sollte eigentlich unter stochastik sein. könnt ihr das bitte wieder löschen... sorry
21.04.2005, 14:45	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben nach Stochastik
21.04.2005, 16:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich steht es sehr gut erklärt in der Wikipedia, besser kann ich es auch nicht. Ich versuch trotzdem eine Erläuterung: Als Schätzer für das sogenannte k-te Moment $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^k \end{eqnarray}$ soll also $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j^k \end{eqnarray}$ verwendet werden. Nun ist man aber in der Regel nicht an $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^k \end{eqnarray}$ interessiert, sondern an den Parametern der Verteilung, die der Stichprobe zugrunde liegt. Allerdings hängen die Momente meistens von diesen Parametern ab, und über diesen Zusammenhang werden dann die Schätzer konstruiert. Das ganze nochmal am Normalverteilungs-Beispiel erläutert: Wir gehen davon aus, dass hinter unserer Stichprobe eine Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ steht - und deren Parameter $\begin{eqnarray} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray}$ wollen wir nun schätzen. 1) In einem ersten Schritt stellen wir den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X \end{eqnarray}$ (also k=1), $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^2 \end{eqnarray}$ (also k=2) einerseits und $\begin{eqnarray} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray}$ andererseits her: Bekannt sein dürfte $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X=\mu \end{eqnarray}$ . Und das zweite Moment $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^2 \end{eqnarray}$ kriegen wir nun raus, indem wir die ebenfalls bekannte Varianzdarstellung $\begin{eqnarray} \mathrm{var}~X=\mathbb{E}~X^2-\left(\mathbb{E}~X\right)^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^2 \end{eqnarray}$ umstellen und dabei $\begin{eqnarray} \mathrm{var}~X=\sigma^2 \end{eqnarray}$ nutzen: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^2=\mathrm{var}~X+\left(\mathbb{E}~X\right)^2=\sigma^2+\mu^2 \end{eqnarray}$ 2) Im zweiten Schritt kommt jetzt die Momentenmethode zum Einsatz. Rein formal gesehen ersetzen wir dazu in den Formeln von 1) jedes Auftreten von $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^k \end{eqnarray}$ durch die Schätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j^k \end{eqnarray}$ , gleichzeitig versehen wir aber die Parameter mit einem Dach (^), um anzudeuten, dass es sich nur um Schätzungen, nicht aber die wahren Parameter handelt (bei dieser Unterscheidung ist die Wikipedia dann in der Tat etwas schlampig): Aus $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X=\mu \end{eqnarray}$ wird so $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j = \hat{\mu} \end{eqnarray}$ () und aus $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~X^2=\sigma^2+\mu^2 \end{eqnarray}$ entsprechend $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j^2 = \hat{\sigma}^2+\hat{\mu}^2 \end{eqnarray}$ () () und (*) bilden ein leicht lösbares Gleichungssystem für die beiden Schätzungen $\begin{eqnarray} \hat{\mu},\hat{\sigma} \end{eqnarray*}$ , als Lösungen erhält man schließlich die in der Wikipedia abgedruckten Formeln. Bei Bedarf können wir das auch noch an einer anderen Verteilung deiner Wahl durchrechnen.
21.04.2005, 17:26	jal	Auf diesen Beitrag antworten »
danke... perfekter gings echt nicht mehr... habs jetzt verstanden, mein problem vorher war dieses k-te moment, wusste nicht wirklich was ich damit anfangen sollte, aber nach deinem bsp ist es klar... nochmals danke! bye

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