Topologiebeispiel richtig gerechnet?

03.12.2007, 15:09	gothino	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologiebeispiel richtig gerechnet? Hallo zusammen, muss morgen ein Beispiel vorrechnen und hätte euch um eure Meinung gefragt was ihr von meiner Lösung haltet: Aufgabe: $\begin{eqnarray} E := \{f_A: \mathbb R \to \mathbb R: \end{eqnarray}$ A endliche Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R , f_A(t) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \in A, f_A(t) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \notin A\} \end{eqnarray}$ Zeige: Ist $\begin{eqnarray} (f_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge von Funktionen $\begin{eqnarray} f_k: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ die punktweise gegen Null konvergiert, dann gibt es einen Index $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f_k \notin E \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \geq N \end{eqnarray}$ gilt. Lösung Das zeige ich mit indirektem Beweis: Wäre die Folge $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ immer wieder in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , dann würde mann einen Punkt $\begin{eqnarray} t_0 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} f_k(t_0) \end{eqnarray}$ immer wieder gleich 1 wäre (und damit würde ja $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ nicht punktweise gegen 0 konvergieren) Formal: $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ immer wieder in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \forall N \in \mathbb N \exists m \geq N: f_m \in E \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ beliebig, $\begin{eqnarray} \epsilon = 1 \geq 0: \exists N \in \mathbb N: \forall n \geq N: \mid f_n(t)\mid < \epsilon = 1 \end{eqnarray}$ (wegen der punktweisen Konvergenz) Nun existiert laut Annahme des indirekten Beweises auch ein $\begin{eqnarray} m \geq N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_m \in E \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \exists A \end{eqnarray}$ endliche Teilmenge von R mit $\begin{eqnarray} f_m = f_A \end{eqnarray}$ . Da für ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} U_\delta(t) \end{eqnarray}$ (Delta-Umgebung von t) unendlich viele Elemente existieren (also mehr als endlich wie in A), existiert ein $\begin{eqnarray} t_0 \in U_\delta(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_0 \notin A \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} f_m(t_0)=1 \end{eqnarray}$ . Das ist m.A. nach dann schon ein Widerspruch zur angenommenen punktweisen Konvergenz, den für einen Punkt $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ finde ich immer einen Punkt $\begin{eqnarray} t_0 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ in dem die Eigenschaft der punktweisen Konvergenz nicht zutrifft. Damit wäre die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ nicht punktweise konvergent, ein Widerspruch zur Annahme. Ist das so sauber gerechnet? Danke und LG Gothino
05.12.2007, 00:14	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologiebeispiel richtig gerechnet? Die Schwierigkeit beim Vorrechnen dürfte sein, die einzelnen Aussagen und Schritte plausibel zu machen. Wie ist es dir ergangen ? Grüße Abakus PS: ich habs erstmal nur überflogen bisher
06.12.2007, 08:39	Markus Mair	Auf diesen Beitrag antworten »
So war's auch So wie ich gerechnet habe kann man vielleicht argumentieren, müßte aber noch zusätzliche Aussagen treffen. Es geht auch einfacher, indem man alle endlichen Teilmengen für alle Indizes (aus den natürlichen Zahlen vereint). Diese abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar, kann die reelen Zahlen also nicht abdecken. Daher findet man ein t aus R für das nicht in dieser Vereinigung enthalten ist, über alle Funktionen also auf 1 abgebildet wird. DAs ist dann der Widerspruch zur pktw Konvergenz lg gothino
06.12.2007, 21:30	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hört sich erstmal einfacher an . Grüße Abakus

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