Topologiebeispiel richtig gerechnet?

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gothino Auf diesen Beitrag antworten »
Topologiebeispiel richtig gerechnet?
Hallo zusammen, muss morgen ein Beispiel vorrechnen und hätte euch um eure Meinung gefragt was ihr von meiner Lösung haltet:

Aufgabe:
A endliche Teilmenge von für für

Zeige: Ist eine Folge von Funktionen die punktweise gegen Null konvergiert, dann gibt es einen Index , sodass für alle gilt.


Lösung
Das zeige ich mit indirektem Beweis: Wäre die Folge immer wieder in , dann würde mann einen Punkt finden, sodass immer wieder gleich 1 wäre (und damit würde ja nicht punktweise gegen 0 konvergieren)

Formal: immer wieder in , also

Sei beliebig, (wegen der punktweisen Konvergenz)
Nun existiert laut Annahme des indirekten Beweises auch ein mit , d.h. endliche Teilmenge von R mit . Da für ein in (Delta-Umgebung von t) unendlich viele Elemente existieren (also mehr als endlich wie in A), existiert ein mit und daher .
Das ist m.A. nach dann schon ein Widerspruch zur angenommenen punktweisen
Konvergenz, den für einen Punkt finde ich immer einen Punkt in dem die Eigenschaft der punktweisen Konvergenz nicht zutrifft. Damit wäre die Funktionenfolge nicht punktweise konvergent, ein Widerspruch zur Annahme.

Ist das so sauber gerechnet?
Danke und LG
Gothino
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologiebeispiel richtig gerechnet?
Die Schwierigkeit beim Vorrechnen dürfte sein, die einzelnen Aussagen und Schritte plausibel zu machen. Wie ist es dir ergangen ?

Grüße Abakus smile

PS: ich habs erstmal nur überflogen bisher
 
 
Markus Mair Auf diesen Beitrag antworten »

So war's auch smile

So wie ich gerechnet habe kann man vielleicht argumentieren, müßte aber noch zusätzliche Aussagen treffen. Es geht auch einfacher, indem man alle endlichen Teilmengen für alle Indizes (aus den natürlichen Zahlen vereint). Diese abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar, kann die reelen Zahlen also nicht abdecken. Daher findet man ein t aus R für das nicht in dieser Vereinigung enthalten ist, über alle Funktionen also auf 1 abgebildet wird. DAs ist dann der Widerspruch zur pktw Konvergenz
lg
gothino
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hört sich erstmal einfacher an Augenzwinkern .

Grüße Abakus smile
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