Holomorph und Antiholomorph |
| 03.12.2007, 16:39 | beuteltier | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Holomorph und Antiholomorph ich habe eine Funktion , mit D die Einheitskreisscheibe auf , wobei u harmonisch ist. ich möchte zeigen, dass wenn man u als Funktion in der komplexen Ebene auffasst, zusammengesetzt ist, als Summe aus einer holomorophen und antiholomorphen Funktion. ich habe jetzt ziemlich lange drüber nachgedacht, aber ich komme einfach nicht drauf. Wie kann man das zeigen? |
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| 03.12.2007, 21:41 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch, und erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Dies motiviert die Definition der sogenannten konjugierten harmonischen Funktion. Zu einer gegebenen harmonischen Funktion u ist das diejenige (bis auf eine Konstante eindeutig bestimmte) Funktion v: D->IR, die zusammen mit u die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Durch etwas Integration und ableiten kann v leicht aus u bestimmt werden. u und v sind dann Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion f=u+iv. Nun brauchst du nur noch eine antiholomorphe Funktion g, so daß eine geeignete Linearkombination von f und g wieder u ergibt. Diese läßt sich ebenfalls aus den schon verwendeten Funktionen zusammenbasteln. Vielleicht kommst du mit folgender Identität auf die richtige Idee: Dabei bleibt natürlich noch nachzuweisen, daß die erratene Funktion g wirklich antiholomorph ist. Es ist übrigens unwichtig, daß die Funktion u auf der Kreisscheibe D definiert ist. Die entscheidende Bedingung an das Gebiet G, in dem alle Funktionen definiert sein müssen ist, daß es symmetrisch zur x-Achse ist. Dann funktioniert das alles immer noch genauso wie bei einer Kreisscheibe. |
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| 04.12.2007, 12:29 | beuteltier | Auf diesen Beitrag antworten » |
aha, ich nehme an, du meinst g=u-iv ? interessante idee, ich werde es mal versuchen. danke |
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