Ein paar Fragen zu Grenzwerten

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Fragen zu Grenzwerten
Hi!

- Ist die Teilfolge einer Teilfolge wiederum Teilfolge der ursprünglichen Folge?

Ich denke ja, und ich benötige das um den Limes superior einer Folge zu bestimmen.

- Nehmen wir einmal die Aufgabe: Zeigen Sie per Definition:


Dann landen wir bei , was ja gegen 0 geht.

Wir müssen nun also zeigen, dass das kleiner ist als jedes epsilon größer null.

Anschließend wurde gewählt und die Behauptung bewiesen.
Wieso genau 1/4? Wie kommt man da am besten drauf?
Hat das was mit der Umgebung aus der Definition zu tun, nehme ich an.

So, reicht erstmal Augenzwinkern
Danke euch!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu Grenzwerten
Zitat:
Original von aRo
Ist die Teilfolge einer Teilfolge wiederum Teilfolge der ursprünglichen Folge?

Ja.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke. damit werde ich die eine aufgabe hinbekommen denke ich, wenn nicht meld ich mich dazu nochmal.

Weiß jemand etwas zur zweiten Frage?
Hirse Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu Grenzwerten
Zitat:
Original von aRo
- Nehmen wir einmal die Aufgabe: Zeigen Sie per Definition:





So weit so gut.

Den nun folgenden Ausführungen sind mir leider vollkommen unklar...

Zitat:
Original von aRo
Dann landen wir bei , was ja gegen 0 geht.

Wir müssen nun also zeigen, dass das kleiner ist als jedes epsilon größer null.


?????
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

nun, wir sollen das ganze ja mit Hilfe der Definition zeigen, welche lautet:

Eine Funktion f besitzt in x0 den Grenzwert L aus R, wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle (D ist der Definitionsbereich von f) mit und gilt

so hoffe das habe ich richtig wiedergegeben.

Was also gemacht wurde ist:
, dass wo wir landen Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu Grenzwerten
Zitat:
Original von aRo
Anschließend wurde gewählt und die Behauptung bewiesen.
Wieso genau 1/4? Wie kommt man da am besten drauf?

Eigentlich geht es dabei darum, das lästige 1 - Wurzel(x) im Nenner von los zu werden.

Dazu betrachten wir:


Damit gilt für 0 < x < 1/4:


<==>

<==


Daraus kann man dann eine Bedingung für das x ermitteln.
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi und danke für deine Antwort!

Dennoch dürfte x doch nicht beliebig eingeschränkt werden, oder?
Das ganze hat doch sicher etwas mit der Umgebung um den Punkt , von dem wir den Grenzwert betrachten, zu tun.

scheint hier legitim zu sein, weil wir damit eine DeltaUmgebung um aufbauen, wobei die Umgebung halbiert wird, weil die Funktion in der negativen Hälfte nicht definiert ist. Oder sehe ich das falsch?

Nehmen wir an ich betrachte den Grenzwert einer anderen Funktion. Wie sollte ich am besten vorgehen um meine Einschränkungen für das x zu finden um x bestimmen zu können?
Ich kann doch sicher auch vorher noch geeignet abschätzen.
edit:
ich nehme mal einen konkreten Fall:

zu bestimmen ist der Grenzwert .
Wir landen wiederum bei:


Jetzt bin ich ja wieder genau an der Stelle. Versuche ich es analog zu machen, komme ich aber nicht weiter, weil mir keine gescheite Einschränkung für x einfällt, weder für Zähler, noch für den Nenner. Alle meine Einschränkungen machen den Term kleiner als einen Wert, was mich ja nicht zum Ziel bringt.
Wie ginge ich jetzt hier vor?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Dennoch dürfte x doch nicht beliebig eingeschränkt werden, oder?
Das ganze hat doch sicher etwas mit der Umgebung um den Punkt , von dem wir den Grenzwert betrachten, zu tun.

Solange die x noch in einer Umgebung von x_0 liegen, kann man die prinzipiell beliebig einschränken.

Zitat:
Original von aRo
scheint hier legitim zu sein, weil wir damit eine DeltaUmgebung um aufbauen, wobei die Umgebung halbiert wird, weil die Funktion in der negativen Hälfte nicht definiert ist. Oder sehe ich das falsch?

Prinzipiell richtig. Es geht in diesem Fall um einen rechtsseitigen Grenzwert.

Zitat:
Original von aRo
Wir landen wiederum bei:


Von wo bist du denn gestartet? Wie dem auch sei. Am besten vereinfacht man das erstmal:



Für 3 < x < 5 gilt:


<==

<==>


Also wählt man

Ich verstehe immer noch nicht so richtig dein Problem bzw. deine Gedankengänge.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke!

darf ich mal aufschreiben, wie ich es jetzt machen würde:

Also für gilt:



so dass nun kleiner als sein, muss gelten:



also


Meine Umgebung wäre doch dann:



Stimmt das denn auch so? So wäre es mir irgendwie lieber, weil wir es nach diesem Schema machen, denke ich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo


Wo kommt denn jetzt das her? verwirrt

Mir scheint, daß du wesentliche Informationen deiner Aufgabe oder deiner Frage weggelassen hast.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das war natürlich äußerst dumm von mir.

Ich sollte doch mit den Infos rausrücken Augenzwinkern



soll mit Hilfe der Definition gezeigt werden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen

muß man nur die Ungleichung untersuchen.

Erstmal umformen:

Dann wären wir wieder in der von mir beschiebenen Rechnung.

Von mir aus, kannst du die delta-Umbegung auch so hinschreiben. Ist ja nur eine Schreibweise. Das wesentliche war ja die Bestimmung eines delta-Wertes. Allerdings hast du noch einen Umformungsfehler drin, es muß nämlich heißen. Außerdem muß auch berücksichtigt werden, daß für epsilon > 1/6 das delta = 1 gewählt wird.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ah, danke. ok, das habe ich nun alles verstanden, denke ich.

wenn ich jetzt von obiger Funktion den rechtsseitigen limes betrachten möchte und auch hier mit Hilfe der Definition zeigen möchte, dass das dann gegen geht, wie gehe ich dann vor?

Ich finde es oft schwierig eine gegebene Definition dann auch wirklich konkret an einer Aufgabe zu verwenden.

Also es ist doch:
, wenn
gilt.

Also muss ich ja irgendwie zeigen, dass:
für

wie macht man das? ....^^
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