Wettbewerb! Bundeswettbewerb Mathematik 2008

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therisen Auf diesen Beitrag antworten »
Bundeswettbewerb Mathematik 2008
Aufgabe 1. Fritz hat mit Streichhölzern gleicher Länge die Seiten eines Parallelogramms gelegt, dessen Ecken nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Er stellt fest, dass in die Diagonalen genau 7 bzw. 9 Streichhölzer passen. Wie viele Streichhölzer bilden den Umfang des Parallelogramms?

Aufgabe 2. Man stelle die Zahl 2008 so als Summe natürlicher Zahlen dar, dass die Addition der Kehrwerte die Zahl 1 ergibt.

Aufgabe 3. In einem spitzwinkligen Dreieck ABC schneiden sich die Winkelhalbierenden , die Seitenhalbierende und die Höhe genau dann in einem Punkt, wenn , die Seite BC und der Kreis um den Höhenfußpunkt durch die Ecke A einen Punkt gemeinsam haben.

Aufgabe 4. In einem ebenen Koordinatensystem stehen auf ganzzahligen Koordinaten 4 Spielsteine. Sie können nach folgender Regel gezogen werden: Ein Stein kann auf eine neue Position gezogen werden, wenn in der Mitte zwischen seiner alten und neuen Position einer der übrigen Steine liegt.
Zu Beginn stehen die 4 Steine auf den Punkten und . Kann man nach endlich vielen Zügen erreichen, dass die 4 Steine auf je einem der Punkte und stehen?



Alle Angaben ohne Gewähr. Einsendeschluss ist der 1. März 2008 (Datum des Poststempels). Mehr Informationen unter www.bundeswettbewerb-mathematik.de.


Ein bis zwei Wochen nach Einsendeschluss darf hier über die Aufgaben diskutiert werden. Ich wünsche allen Teilnehmern viel Spaß und Erfolg.


Gruß, therisen
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Falls jemand seine Lösung(en) posten möchte, nur zu.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mal fragen darf:
Ist bei Aufgabe 3 der Beweis gefordert? Eine Frage sehe ich jedenfalls nicht.

air
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich. Es ist übrigens nicht unüblich, dass man als Aufgabe einfach nur eine Aussage hinschreibt und den "Man beweise: "-Teil weglässt.
matze(2) Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]7842[/attach]

Das .doc im .zip im Ahnang ist die Originaldatei, die ich ausgedruckt abgeschickt habe.

Kann es zu Punktabzug führen, weil ich nicht den linken 6 cm breiten Rand eingehalten habe?

Meine Lösung der Aufgabe 4 ist mindestens unvollständig, oder ganz falsch. Wie geht man mit der Beweisführung bei solchen Aufgaben ran?

Haben sich sonst noch Unannehmlichkeiten oder Fehler eingeschlichen?


Ich bin für jeden konstruktiven Beitrag dankbar.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matze(2)
Kann es zu Punktabzug führen, weil ich nicht den linken 6 cm breiten Rand eingehalten habe?


Nein, keine Sorge.

EDIT: Ich kann deine Lösung übrigens nicht anschauen, da du sie mit M$ Word verfasst hast. Vielleicht kannst du sie ja als PDF exportieren.
matze(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich nur den Reader und nicht das ganze Acrobat Packet habe und bei dem ursprünglichen Dokument den Mikroweich eigenen Formeleditor verwendete, ist die Qualität teilweise dürftig.


[attach]7843[/attach]
jona89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir deine Lösungen mal angeschaut. Habe bei der ersten Aufgabe etwa den selben Ansatz gewählt, Aufgabe drei ist meine Lösung deutlich komplizierter, weiss nicht ob deinen Lsg. stimmt hab es mir nur kurz angeguckt. Könnte aber stimmen. Aufgabe 2 ist bei mir auch ähnlich, fand die Aufgabe auch eher komisch.
Aufgabe 4 fand ich deine Erklärung nicht ganz ausreichend habe aber selber keine bessere gefunden^^

Edit: Achja bei 1 habe ich nur 22 als Umfang aber auch wenig Lust mich wieder reinzudenken, bin mir recht sicher keinen Mist gebaut zu haben, kA.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 2 ist übrigens nur ein Spezialfall einer viel allgemeineren Aussage: Jede Zahl lässt sich als Summe natürlicher Zahlen schreiben, sodass .

EDIT 1: durch ersetzt. Ersteres gilt, falls die paarweise verschieden sind.

EDIT 2: EDIT 1 um das Wort "paarweise" erweitert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt's dafür einen erträglich kurzen Beweis?

EDIT: Hmmm, Ok, mir ist einer für eingefallen - der Rest ist ja dann "bloß" noch ein paar Einzelfälle aufschreiben. Big Laugh
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hatte ich gehofft, du würdest die Aussage mal eben beweisen Big Laugh

Leider habe ich noch nirgends einen Beweis dieser interessanten Aussage gesehen. Der Satz war einer von 24 Vorschlägen (ich glaube von David Wells) im Mathematical Intelligencer zur Wahl der "Top 10" der schönsten mathematischen Sätze.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe oben. Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wie groß ist denn dein ? Vielleicht erklärt das, wie man ausgerechnet auf 77 gekommen ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis durch Vollständige Induktion:


Induktionsanfang: Für schreibe man alle Darstellungen auf - sollte möglich sein, wenn die Aussage stimmt. Big Laugh

Induktionsschritt: Für findet man wegen zwei Zahlen mit



Jetzt nimmt man die doppelten Zahlen der Darstellung von , die dreifachen Zahlen der Darstellung von und eine 6 - die Gesamtmenge bildet dann wegen wiederum eine Darstellung von .


P.S.: Hab meine ganzen Edits zu dieser obigen revidierten Fassung vereint. Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann auch noch einen sehr interessanten Link diesbezüglich beisteuern: Egyptian Numbers

Wenn ich das nächste mal in der Bibliothek bin, werde ich versuchen den Artikel von Graham zu finden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also eigentlich , wenn wir (wie hier) nicht auf paarweise verschiedene bestehen.

Bei paarweise verschiedenen müsste ich meinen Beweis natürlich nochmal umstricken. Augenzwinkern
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