gauß algorithmus mit parameter

03.12.2007, 21:32	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
gauß algorithmus mit parameter guten abend! ich soll bestimmen für welche t \in \mathbb R das LGS a) eine, b) keine c) mehrere lösungen hat und für a) und c) alle lösungen angeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t & 1 & (t-1)^2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2t\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ [ich weiß leider nicht, wie ich es richtig im latex schreibe...] am ende meines LGS steht es so da: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t & 0 & t^2-2t\|t \\ 0 & 1 & 1\|0 \\ 0 & 0 & t^2-t \|t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dies ist nicht lösbar, wenn: $\begin{eqnarray} t²-t=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\neq0 \end{eqnarray}$ sprich für t=1 gibt es keine lösung--> das LGS ist nicht lösbar genau eine lösung, falls $\begin{eqnarray} (t²-t) \neq 0 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \{0,1\} \end{eqnarray*}$ jetzt weiß ich nicht genau, wie ich alle lösungen angeben soll... muss ich jetzt in meiner matrix eine einheitsmatrix vollends erzeugen und dann eine spezielle lösung angeben (die inhomogene lösung) und an sie vielfache von der homogenen lösung anhängen? wie mach ich das am besten? gruß und danke, marci
03.12.2007, 23:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Umformung der Matrix in die obere Dreiecksform ist in der dritten Zeile ein Faktor t zu viel (durch t hätte man dividieren müssen). Um den Parameter t herauszufinden, für den es unendlich viele Lösungen gibt, setzt man die Koeffizienten-Determinante = 0 (denn dann kann das System abhängig werden), Variante c). Allerdings muss dann der Rang der (um die Konstanten) erweiterten Matrix ebenfalls kleiner als 3 sein (es gibt mindestens eine Nullzeile). Ist dies nicht der Fall, liegt Variante b) [keine Lösung] vor, das System beinhaltet dann einen Widerspruch. $\begin{eqnarray} D = t^2 - t = t(t - 1) = 0 \end{eqnarray}$ Löse nach t. Es gibt nun für t zwei Werte, die jeweils zu einer der beiden Varianten führen .... Hilft das schon mal? mY+
04.12.2007, 00:13	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
wir hatten bis jetzt noch keine determinatne, ich verstehs im moment nicht, liegt aber auch daran, dass iuch müde bin.. ich schaus mir auf jeden fall morgen nochmals an und steig dann ein... tortzdem: vielen dank mythos!
04.12.2007, 07:33	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist in diesem Fall nicht so wichtig. Wichtig ist, dass du auf die beiden unterschiedlichen Varianten kommst. Das waer zB eine Matrix zur Variante b.) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b & c & \| g \\ 0 & d & e & \|h \\ 0 & 0 & 0 & \| i\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Es gibt keine Lösung. Das waer zB eine Matrix zur Variante c.) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b & c & \| g \\ 0 & d & e & \|h \\ 0 & 0 & 0 & \| 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ unendlich viele Lösungen. Und nun musst du dir, wie mythos schon gesagt hat, die letzte Zeile anschauen und eine Fallunterscheidung durchfuehren. Wann passiert was.
22.12.2011, 17:53	samhain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich bin auf dieses Thema gestoßen und mich hätte die Lösung dieser Aufgabe sehr interessiert. Leider habe ich so mit dem Fall a) eine Lösung meine Probleme. Dazu muss ich sagen, dass ich Determinanten nicht hatte. Hier meine bisherigen Ergebnisse: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & (1-t)t & \| t \\ 0 & 1 & 1 & \| 0 \\ 1 & 3 & 2t & \| 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich für t = 1 keine und für t = 0 unendlich viele Lösungen. Wenn ich nun den Fall einer Lösung betrachte löse ich erst einmal nach x, y und z auf: z = $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-t)} \end{eqnarray}$ y = $\begin{eqnarray} - \frac{1}{(1-t)} \end{eqnarray}$ x = $\begin{eqnarray} \frac{3}{(1-t)} - \frac{2t}{(1-t)} \end{eqnarray}$ Sollte nicht unabhängig von t immer die selbe Lösung heraus kommen? Wo ist mein Fehler... Danke für Eure Hilfe!
23.12.2011, 00:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
t wird für den Moment festgehalten, somit spielt es die Rolle wie jede andere gegebene Zahl. Weil für t eine feste Zahl vereinbart ist, ist die Lösung eindeutig. Natürlich ist die Lösung als Zahl selbst immer abhängig von der Wahl des t. Für ein einmal gewähltes t hat das System jedoch ein genau so eindeutiges Lösungstripel in t, als wenn z.B für t = 8 stehen würde. mY+
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23.12.2011, 20:23	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
'empfehle hier immer, zuerst das wahrscheinlich Kritische = 0 zu setzen. I.) Das ganze LGS mit t=0 neu zu schreiben und die Lösungsmenge bestimmen... II.) jetzt das Lgs mit gauss bearbeiten, wobei man auf t=0 an keiner Stelle ( auch nicht beim Dividieren ) mehr Rücksicht nehmen muss. Das vereinfacht. Jetzt beide Lösungsmengen für t=0 und für t<>0 "zusammenfassen" Sehr zu empfehlen, falls noch ein 2. Parameter hinzukommt.
26.12.2011, 18:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bringt aber hier nichts, denn es wird durch (1 - t) dividiert, die "kritische Stelle" ist daher t = 1. mY+

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