Welche Mengen bilden einen Vektorraum

03.12.2007, 22:17

Chrusti

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Welche Mengen bilden einen Vektorraum

Hallo!
Ich habe leider ein paar Probleme mit der folgenden Aufgabenstellung. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Aufgabe:
Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen (mit den jeweils angegebenen Additionen und Multiplikationen mit Skalaren) Vektorräume bilden.
(Mengen siehe Anhang!).

Ich verstehe nicht ganz, wie man das genau prüfen soll. Darf ich bei M1 für a1 und a2 einfach irgendwelche Werte aus der Definitionsmenge einsetzen, mir ein g(x) aussuchen und dann prüfen, ob die Bedingungen stimmen?

Vielleicht könnte mir jemand erstmal einen Tipp geben, wie ich da einsteigen kann, dann könnte ich die anderen Mengen erstmal versuchen alleine zu berechnen.

Vielen Dank
Chrusti

04.12.2007, 12:30

tigerbine

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Boardprinzip
Stelle deine Aufgaben hier bitte mittels Latex ein und nicht in Form eines Anhangs. Danke.

Erste Schritte im Board

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

05.12.2007, 19:56

Leath

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Mit freundlicher Unterstützung eines Kommilitionen:
1. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} M_{1}: \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(x):=a_{1}2^x+a_{2}(x-1), \forall x\in \mathbb R, a_{1}, a_{2}\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x), x\in \mathbb R, f,g \in M_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda*f)(x):=\lambda f(x), x \in \mathbb R, \lambda \in \mathbb R, f \in M_{1} \end{eqnarray*}$

05.12.2007, 22:04

Chrusti

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Zitat:

Original von Leath
Mit freundlicher Unterstützung eines Kommilitionen:
1. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} M_{1}: \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(x):=a_{1}2^x+a_{2}(x-1), \forall x\in \mathbb R, a_{1}, a_{2}\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x), x\in \mathbb R, f,g \in M_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda*f)(x):=\lambda f(x), x \in \mathbb R, \lambda \in \mathbb R, f \in M_{1} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! Freude

Freude

Die erste Aufgabe konnte ich inzwische lösen (hoffe ich zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Ich habe alle Vektorraumaxiome überprüft:
Assoziativität (bzgl. * und +)
Nullelement
Inverse
Kommutativität
Distributivität (2 Fälle)
Neutralität der Eins
und die Abgeschlossenheit

(Sind das alle Fälle, die ich prüfen muss oder habe ich etwas vergessen?)

Alle Gleichungen konnte ich lösen, deswegen bin ich der Meinung, dass M1 ein Vektorraum ist.
Ist das richtig?

Vielen Dank
Chrusti

05.12.2007, 22:44

Chrusti

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Hi!
Ich habe jetzt die anderen Aufgaben abgetippt.

$\begin{eqnarray*} M_{2}: \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(x):=1+a \sin (x), \forall x\in \mathbb R, a\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x), x\in \mathbb R, f,g \in M_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda*f)(x):=\lambda f(x), x \in \mathbb R, \lambda \in \mathbb R, f \in M_{2} \end{eqnarray*}$

M2 ist meiner Meinung nach kein Vektorraum, da die Menge z.B. kein Nullelement enthält (es reicht doch, wenn ich ein Axiom wiederlege oder?).

1+a sin (x) = 0 lässt sich nicht lösen für alle x.

$\begin{eqnarray*} M_{3}: \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ \frac {y_1 + y_2} {2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M3 ist auch kein Vektorraum, da auch diese Menge kein festes Nullelement enthält. Bei der Lösung für das Gleichungssystem erhalte ich für das Nullelement:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{4}: \{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^ {2} / y=cos(x) \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch diese Menge ist kein Vektorraum, weil sich für das Nullelement aus der ersten Gleichung ergibt, dass x1 = 0 sein muss, aber in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt sich cos (o) = 0. Und das gilt nicht.

Diese 4 Mengen konnte ich also schon lösen, bei den letzten beiden tue ich mich aber ein wenig schwer. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp zum Ansatz geben:

$\begin{eqnarray*} M_{5}: \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(-x)=-f(x), \forall x\in \mathbb R, \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x), x\in \mathbb R, f,g \in M_{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda*f)(x):=\lambda f(x), x \in \mathbb R, \lambda \in \mathbb R, f \in M_{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{6}: \{ x \in \mathbb R^ {3} / \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} * x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} * x \} \end{eqnarray*}$

Es gelten die allgemeinen Regeln für die Vektoraddition und Multiplikation bei M6.

Gruß
Chrusti

06.12.2007, 12:57

WebFritzi

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Zu M2: Hast du wunderbar erklärt. smile

smile

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06.12.2007, 14:57

Leath

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Ich würde mal sagen das M5 einen Vektorraum darstellt.
$\begin{eqnarray*} f_{(-x)}=-f_{(x)} \end{eqnarray*}$ entspricht ja der Punktsymmetrie durch den Ursprung, also ist die 0 schonmal enthalten. Wenn jetzt die Axiome gelten dürfte es das doch schon gewesen sein oder?

so M6, hmm:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
bedeutet ja eigentlich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ x \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das geht doch sowieso nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder bin ich jetzt völlig daneben? ^^

06.12.2007, 15:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leath
Ich würde mal sagen das M5 einen Vektorraum darstellt.
$\begin{eqnarray*} f_{(-x)}=-f_{(x)} \end{eqnarray*}$ entspricht ja der Punktsymmetrie durch den Ursprung, also ist die 0 schonmal enthalten.

Welche Null meinst du?

06.12.2007, 15:05

Leath

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Die Null als Ursprung des KKS.

06.12.2007, 15:08

WebFritzi

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Was ist ein KKS? Wie kommst du darauf, dass jeder diese Abkürzung kennt? unglücklich

unglücklich

06.12.2007, 15:09

Leath

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Sry, kartesisches Koordinatensystem, wegen der Symmetrie.

06.12.2007, 15:10

WebFritzi

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Dann ist deine Begründung

Zitat:

Original von Leath
also ist die 0 schonmal enthalten.

falsch!

06.12.2007, 15:11

Leath

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Ok, dann wäre ich für einen anderen Ansatz dankbar. Wo liegt der Haken?

06.12.2007, 15:13

WebFritzi

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Der Haken ist, dass es sich in der zu untersuchenden Menge nicht um Punkte aus einem "KKS" handelt, sondern um Funktionen. Was müsste denn der Nullvektor sein?

06.12.2007, 15:17

Leath

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Gut, also sind wir bei der Frage, ob die 0 in diesen Funktionen enthalten ist. Da M5 ja im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist sie doch mit den gegebenen Funktionen sowieso enthalten.

06.12.2007, 15:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leath
Gut, also sind wir bei der Frage, ob die 0 in diesen Funktionen enthalten ist.

Welche Null meinst du?

06.12.2007, 15:26

Leath

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$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb D / x=0 \end{eqnarray*}$

06.12.2007, 18:51

Harry Done

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Hi, ich gehe zur selben Uni und habe die selbe Aufgabe.
Würde das Nullelement in diesem Fall nicht die Nullfunktion sein.
Also mit dem Additionsgesetz:

$\begin{eqnarray*} (f+N)(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+N(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(x)=0 \end{eqnarray*}$

Und bei der Menge M6 ist glaube ich das Skalarprodukt gemeint. Also für alle Elemente x gilt.

$\begin{eqnarray*} \left \langle\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{matrix},x \right\rangle=\left \langle\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{matrix},x \right\rangle \end{eqnarray*}$

mit dem Skalerprodukt. Ist das dann nicht so,als würde für jedes x gelten:

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das müsste doch dann so, wie der normale dreidimensionale Vektorraum sein?

06.12.2007, 21:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Harry Done
Hi, ich gehe zur selben Uni und habe die selbe Aufgabe.
Würde das Nullelement in diesem Fall nicht die Nullfunktion sein.

Ja, natuerlich.

Zitat:

Original von Harry Done
Und bei der Menge M6 ist glaube ich das Skalarprodukt gemeint. Also für alle Elemente x gilt.

$\begin{eqnarray*} \left \langle\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{matrix},x \right\rangle=\left \langle\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{matrix},x \right\rangle \end{eqnarray*}$

mit dem Skalerprodukt. Ist das dann nicht so,als würde für jedes x gelten:

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das müsste doch dann so, wie der normale dreidimensionale Vektorraum sein?

Alles ist richtig, bis auf die letzte Frage, die man verneinen muss. Der Raum M6 (welcher ein Vektorraum ist!) ist 2-dimensional.

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