Elementare Zahlentheorie |
| 03.12.2007, 22:18 | Maria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Elementare Zahlentheorie Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme. Sei m € N\{0}. Bestimme die Anzahl a(m)der mod m inkongruenten Lösungen x der Kongruenz x^2 = x(mod m). Ich wär euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr da eine gute Lösung zu hättet. |
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| 03.12.2007, 22:23 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Probier's doch mal für aus. |
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| 03.12.2007, 22:54 | Maria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich ja schon. Bei 6 habe ich einen Fall gefunden, wo neben den trivialen Fällen 0 und 1 noch die 3 dazu kommt. 3 ist ne Primzalhl. Also habe ich mal weiter geguckt und es mit 2*5=10 und 2*7=14 versucht und bingo es geht auch mit 3*7=21 aber nicht mit 4*7=28. Also müssen viell. beides Primzahlen sein? ... Naja bei 5*7 geht es aber auch nicht. Nun gut neuer Anlauf x^2=x (mod m) ist äquivalent zu x(x-1)=0 (mod m). Wenn also Lösungen neben 0 und 1 existieren, herrscht keien Nullteilerfreuheit. Für m Primzahl ist der Fall klar, weil man dann in einem Körper operiert und dort Nullteilerfreiheit herrscht. Auf eine Lösung mit allgemeiner Gültigkeit komme ich aber irgendwie nicht - viell. denke ich auch zu quer. |
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| 03.12.2007, 23:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0,1,3 - und die 4 hast du nicht probiert? 
Schreib doch mal für einige der von dir schon genannten auf und versuche, diesen Wert mit der Primfaktorzerlegung von in Zusammenhang zu bringen. |
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| 04.12.2007, 10:53 | Maria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So habe es jetzt nochmal für die ersten 25 Zahlen und der 30 durchgespielt. Mein Resultat sieht wie folgt aus. Wenn die Zahl eine Primzahl oder eine Primzahlpotenz ist, so ergeben sich nur die 2 trivialen Fälle. Wenn m eine Primzahlzerlegung hat, mit mehreren unterschiedlichen Primzahlen, so gibt es neben den beiden trivialen noch zwei weitere. Bei diesen weiteren Zahlen die x^2=x (mod m) erfüllen hat die Primfaktorzerlegung immer auch eine der Primzahlen aus der Zerlegung von m. Das ist ja alles entzückend, aber wie ich daraus eine allgemein gültige Angabe zu a(m) machen kann will mir nicht so recht klar werden. Kann natürlich sein das ich mich irgendwo verrechnet oder Möglichkeiten übersehen habe. Viell. hat ja jemand anderes noch eine Idee. Grüße |
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| 04.12.2007, 10:58 | Maria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überings danke erstmal für die Mühe!!!! |
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| 04.12.2007, 11:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vollkommen richtig. 
Also insgesamt vier? Für genau zwei unterschiedliche Primfaktoren stimmt das, aber den Fall hast du wohl nicht gründlich genug angeschaut.
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