erwartungstreuer schätzer?

21.04.2005, 17:32

gasst

erwartungstreuer schätzer?

also meine aufabe lautet:

X1,...,Xn unabhängige,identische Zufallsvariablen , N(mu,sigma^2) verteilt:
und mu ist bekannt.
ist (1/n* sum(( Xi-mu)^2)^(1/2) )^-(1/2) ein erwartungstreuer schätzer für die standartabweichung?

also mein problem ist das ^(-1/2). könnte ich einfach das ^-(1/2) weglassen und zeigen das es erwartungtreu ist für sigma^2 ? und wenn ja könnte ich dann darauf schliessen das es erwartungstreu ist für die standartabweichung sigma? hoffe ihr blickt durch die aufgabe durch, hab leider kein latex oder ähnliches sorry,

ach ja die sum für summe läuft übrigens von i=1..n .

mfg gasst

21.04.2005, 17:57

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RE: erwartungstreuer schätzer?

Zitat:

Original von gasst
könnte ich einfach das ^-(1/2) weglassen und zeigen das es erwartungtreu ist für sigma^2 ? und wenn ja könnte ich dann darauf schliessen das es erwartungstreu ist für die standartabweichung sigma?

Die Antwort ist ganz klar: Nein.

Eine Stichprobenfunktion T ist ja auch nichts weiter als eine Zufallsgröße. Und wenn T erwartungstreu für eine Größe $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ ist, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~T=\vartheta \end{eqnarray*}$ ,

so folgt daraus nicht die Gleichung $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~T^2=\vartheta^2 \end{eqnarray*}$ , letzteres würde ja der Erwartungstreue für $\begin{eqnarray*} T^2 \end{eqnarray*}$ entsprechen!

Generell kann man sagen, dass i.a. nur lineare Transformationen die Erwartungstreue erhalten, d.h., wegen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(aT+b)=a\vartheta+b \end{eqnarray*}$

ist das obige T auch erwartungstreu für die Größe $\begin{eqnarray*} a\vartheta+b \end{eqnarray*}$ . Dabei sind a,b irgendwelche reellen Konstanten.

21.04.2005, 18:13

gasst

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aha... gut zu wissen. aber irgendwie komm ich trotzdem nicht weiter.

also auf den stand bin ich gerade:

(1/n)^-(1/2) * E ( (sum((Xi^2-2*Xi*mu+mu^2))^-(1/2)

wie kann ich jetzt von dem ganzen auf die standartabweichung schliessen??
hoffe das ist jetzt keine dumme frage....

21.04.2005, 18:38

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Du hast nichts zu dem $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ gesagt - ich nehme einfach mal an, dass du damit den hier bekannten (also nicht geschätzten) Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X \end{eqnarray*}$ der Verteilung meinst.

Sollte das zutreffen, dann ist $\begin{eqnarray*} T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i^2-2X_i\mu+\mu^2) \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ , also es gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~T=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ .

Für die meisten Verteilungen von X folgt daraus aber nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~\sqrt{T}=\sigma \end{eqnarray*}$ , wie ich es in meinem letzten Beitrag auch schon festgestellt habe.

Bei konkret gegebenen Verteilungen kann man tatsächlich versuchen, $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~\sqrt{T} \end{eqnarray*}$ auszurechnen, was dann aber meist in hoffnunglos wilden Integralen endet.

EDIT: Ach ja, zum hunderttausendsten Male: Es heißt Standardabweichung, weil das Wort was mit "Standard" und nicht mit "Standarte" zu tun hat. böse

21.04.2005, 18:54

gasst

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ja mit mu meine ich E(X) war etwas schlecht beschrieben von mir. aber mein problem ist noch das gleiche. ich kann also nicht von E(t) =sigma^2 auf sigma einfach schätzen, damit ist meine erste idee geplatzt. aber meine hauptaufgabe war ja ob
(1/n* sum(( Xi-mu)^2)^(1/2) )^-(1/2) ein erwartungstreuer schätzer ist. wie kann ich das jetzt zeigen bzw. zeigen das es kein erwartungstreuer schätzer ist. eine konkrete verteilung habe ich ja, N(mu,sigma^2).
mfg gasst

21.04.2005, 18:59

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Wie ich schon geschrieben habe, die Rechnungen dafür sind furchtbar. Aber ich verweise mal auf

http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung

Abschnitt Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung aus einer Stichprobe - dort findest du im Falle der Normalverteilung eine erwartungstreue Schätzung für die Standardabweichung.

21.04.2005, 19:07

gasst

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ok, danke für die ganze hilfe... das wikipedia das drin hat hätte ich nicht gedacht.
mfg gasst

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