Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen

04.12.2007, 18:43

Kallie

Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen

N'Abend! Ich sitze mal wieder vor einer Aufgabe und bin ein bisschen ratlos.

Folgende Matrix ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & sin \alpha & cos \alpha \\ sin \alpha & 0 & 0 \\ cos \alpha & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist es nun für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte und die dazugehörigen Hauptachsenrichtungen zu bestimmen.

Wie soll das aber gehen, wenn die Determinante der Matrix 0 ist!? verwirrt

Danke schonmal!

04.12.2007, 18:49

therisen

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Die Matrix ist symmetrisch. Berechne das charakteristische Polynom.

04.12.2007, 18:53

Kallie

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Oh, ich habe gerade selbst gemerkt, dass ich nicht richtig nachgedacht habe! Hammer

Trotzdem danke!

04.12.2007, 19:22

Kallie

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So nun habe ich das char. Polynom und die Eigenwerte bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=\lambda^3-\lambda \end{eqnarray*}$

Daraus folgen die 3 Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 , \lambda_2=-1 , \lambda_3=1 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun aber weiter vor um die Hauptachsen zu bestimmen!?

04.12.2007, 19:29

therisen

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Ja, das stimmt bisher. Meinst du mit Hauptachsen die Eigenvektoren?

04.12.2007, 19:33

Kallie

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Also mit Hauptachsen bezeichnen wir die paarweise orthogonalen Eigenvektoren einer sym. Matrix!

04.12.2007, 19:41

therisen

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Ok, das macht Sinn. Zunächst musst du aber jeweils eine Basis der Eigenräume finden - alle drei haben die Dimension 1 (algebraische Vielfachheit gleich geometrischer Vielfachheit).

04.12.2007, 19:50

Kallie

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Basis und Eigenräume sagen mir überhaupt nichts!

04.12.2007, 19:57

therisen

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http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenvektor...r_Eigenvektoren

04.12.2007, 20:09

Kallie

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So wirklich weiterhelfen tut mir das immer noch nicht! Sorry!

04.12.2007, 20:20

therisen

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Ein lineares Gleichungssystem wirst du wohl lösen können, oder nicht?

04.12.2007, 20:21

Kallie

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Ja das kann ich wohl!

04.12.2007, 20:27

therisen

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RE: Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen
Gut, dann löse mal die folgenden drei Gleichungssysteme:

1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & sin \alpha & cos \alpha \\ sin \alpha & 0 & 0 \\ cos \alpha & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & sin \alpha & cos \alpha \\ sin \alpha & -1 & 0 \\ cos \alpha & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & sin \alpha & cos \alpha \\ sin \alpha & 1 & 0 \\ cos \alpha & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge wird jeweils von einem Parameter abhängen.

04.12.2007, 20:55

Kallie

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RE: Eigenwerte und dazugehörige Hauptachsenrichtungen
Das erste System hatte ich auch schon, aber ich glaube dies ist das erste mal, dass ich ein LGS mit sin und cos habe.

Für 1)

Wenn ich die 2. Zeile mit $\begin{eqnarray*} -cot\alpha \end{eqnarray*}$ multipliziere und dann zu der 3. Zeile addiere bekomme ich folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & sin \alpha & cos \alpha \\ sin \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?!

An dieser Stelle würde ich $\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$ setzen. Somit wäre $\begin{eqnarray*} Y=-cot\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?!

Jetzt bitte nicht auf die Mütze hauen, falls das falsch ist! unglücklich

04.12.2007, 21:38

therisen

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Offensichtlich wird die erste Gleichung von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ \cos(\alpha) \\ -\sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gelöst.

05.12.2007, 16:12

Kallie

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Meine Lösung scheint auch richtig zu sein, aber deine sieht um einiges schöner aus! Wie bistn du darauf gekommen?!

05.12.2007, 18:58

therisen

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Ich habe den ursprünglichen Lösungsvektor mit $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ (skalar) multipliziert - dann spart man sich die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)\neq0 \end{eqnarray*}$ (nicht die Probe vergessen!).

05.12.2007, 22:48

Kallie

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hmm, klar, hab ich mal wieder nicht auf den ersten blick gesehen!

habe jetzt die anderen beiden eigenvektoren berechnet.

Für 2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -cos \alpha - \frac {sin^2\alpha} {cos\alpha} \\ tan\alpha \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für 3) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -cos \alpha - \frac {sin^2\alpha} {cos\alpha} \\ tan\alpha \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also beides die selben,...ob das so richtig ist!? Wahrscheinlich gibts wieder einen viel unkomplizierteren Weg! verwirrt

05.12.2007, 23:25

therisen

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Zitat:

Original von Kallie
Für 2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -cos \alpha - \frac {sin^2\alpha} {cos\alpha} \\ tan\alpha \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. EDIT: Es ist übrigens nur das Vorzeichen der ersten Komponente falsch.

Zitat:

Original von Kallie
und für 3) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -cos \alpha - \frac {sin^2\alpha} {cos\alpha} \\ tan\alpha \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, falls $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)\neq0 \end{eqnarray*}$ . Verwende lieber den immer gültigen Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\sin\alpha\\\cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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