Matrizen

04.12.2007, 19:49	Stephan86	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Hallo, Es ist gegeben eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in M(m \times n) \end{eqnarray}$ vom Rang r. Ich soll beweisen, dass es eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in M(m \times r) \end{eqnarray}$ und eine Matrix $\begin{eqnarray} C \in M(r \times n) \end{eqnarray}$ gibt, dass $\begin{eqnarray} A =BC \end{eqnarray}$ . Mir sind die Bedingungen klar unter welchen Matrizen multipliziert werden dürfen(Die Spaltenanzahl der linken muss gleich der Zeilenanzahl der rechten Matrix sein). Ich weiß nicht, ob ich das jetzt als Ansatz nutzen kann oder nicht. Genau gesagt, fehlt mir jeder Ansatz für diesen Beweis... Hat vielleicht jemand von euch einen Tipp? mfg
05.12.2007, 18:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ läßt sich durch elementare Umformungen auf die Gestalt $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} E^{(r)} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bringen. Das ist die Schreibweise mit Kästchenmatrizen, links oben ist $\begin{eqnarray} E^{(r)} \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -reihige Einheitsmatrix, sofern nötig durch Nullmatrizen zu $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ergänzt. Den elementaren Umformungen entsprechen Multiplikationen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit invertierbaren Matrizen, von links mit einer Matrix $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ vom Typ $\begin{eqnarray} (m,m) \end{eqnarray}$ , von rechts mit einer Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ vom Typ $\begin{eqnarray} (n,n) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} PAQ = R \end{eqnarray}$ Jetzt kann man nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auflösen und sich aus der Darstellung das gesuchte Produkt $\begin{eqnarray} A = BC \end{eqnarray}$ zusammenbasteln. Man teilt dazu alle Matrizen so in Kästchen ein, daß oben links jeweils eine $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -reihige Matrix entsteht.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »