Stochastischer Prozess

04.12.2007, 21:39	Stochi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastischer Prozess Wenn ich einen Possoinprozess $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ habe, heißt das ja, dass die Zuwächse unabhängig, stationär und poissonverteilt sind (und die Pfade rechtsstetig). Wie ist nun ein einzelnes $\begin{eqnarray} X_s \end{eqnarray}$ verteilt?
04.12.2007, 21:47	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin noch neu in der Theorie der stochastischen Prozesse, also keine Garantie auf Korrektheit!!! Ich würde sagen, jedes einzelne $\begin{eqnarray} X_s \end{eqnarray}$ ist auch poissonverteilt. Ich kenne die Herleitung nur über Faltungshalgruppen. In diesem Fall ist die Faltungshalbgruppe die der Poissonverteilungen $\begin{eqnarray} \left( \pi_{\lambda t} \right)_t \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} P_{X_t} = P_{X_t - X_0 + X_0} = P_{X_t - X_0} \ast P_{X_0} = \pi_{\lambda (t-0)} \ast \pi_0 = \pi_{\lambda \cdot t} \end{eqnarray}$ Ob das so richtig ist, kann ich nicht garantieren! Jedoch denke ich das obige Antwort auf deine Frage schon korrekt ist
04.12.2007, 22:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann's auch einfach so sagen: Da beim Poissonprozess $\begin{eqnarray} X_0=0 \end{eqnarray}$ P-f.s. gilt, ist $\begin{eqnarray} X_s = X_s-X_0 \end{eqnarray}$ auch nur ein spezieller Zuwachs, der dann natürlich auch poissonverteilt ist.

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