likelihood schätzung

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gasst Auf diesen Beitrag antworten »
likelihood schätzung
hallo
also ich hab ein merkmal X und das ist gleichverteilt:
sprich dichte ist 1/(b-a). nun soll ich einen punktschätzer angeben für die unbekannten parameter a,b und (a+b)/2.

also meine ansätze bis jetzt:
schätze das ich das am besten mit der likelihood methode machen sollte da ich ja die verteilung schon habe. mein erster problem fängt hier an:

muss es L(x,a,b,(a+b)/2) sein oder L(x1,...,xn,a,b,(a+b)/2) weil in meiner angabe steht nur merkmal X?????.
naja gut danach muss ich ja partiell nach a,b, (a+b)/2 ableiten. problem nr.2 wie leitet man nach (a+b)/2 ab? geht das überhaupt???

problem nr.3:
ich muss ja die partielle ableitung gleich null setzen, nehmen wir mal an ich hab nach a partiell abgeleitet, dann hab ich folgendes:
1/(b-a)^2=0 was soll ich mit der gleichung machen, die geht ja nicht auf?

hoffe ihr könnt mir helfen
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: likelihood schätzung
Zitat:
Original von gasst
muss es L(x,a,b,(a+b)/2) sein oder L(x1,...,xn,a,b,(a+b)/2) weil in meiner angabe steht nur merkmal X?????.

Sicher ist nur eine Abkürzung fü den gesamten Wertevektor, also . Da die drei Größen voneinander abhängig sind, kannst du sie nicht in einem Ansatz schätzen, sondern höchstens getrennt in zwei verschiedenen Ansätzen

(1) und

(2) , wobei und gesetzt wird.


Zitat:
Original von gasst
ich muss ja die partielle ableitung gleich null setzen, nehmen wir mal an ich hab nach a partiell abgeleitet, dann hab ich folgendes:
1/(b-a)^2=0

Erstmal musst du die Likelihoodfunktion aufstellen, und die ist nicht einfach , auch nicht , sondern sie hängt noch von ab.

Und zweitens: Was du tun musst ist das Maximum der Likelihoodfunktion bestimmen. Das läuft sehr oft, aber nicht immer über partielle Ableitungen! Schließlich kann die Likelihoodfunktion auch Unstetigkeiten besitzen - und genau das ist hier der Fall.
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

ach so... ja wenn ich nicht differenzieren muss, was hab ich dann für eine möglichkeit?

und wie sehe die fkt genau aus.
ich dachte
L(x1,...,xn; a,b)= 1/(b-a) * ... * 1/(b-a) = 1/ (b-a)^n aber die ist ja falsch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal klein an:

Wie groß ist die Dichte einer auf [a,b] gleichverteilten Zufallsgröße?
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

die dichte besitzt die grösse b-a oder nicht, falls natürlich a<b. und x element von [a,b] aber ich weiss nicht wie ich dann die xi da reinbekomme...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es: Die tatsächliche Dichte ist



Und genau dieser Unterschied zu einfach ist der Knackpunkt für die Likelihood-Funktion!
 
 
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

ok... das macht die sache sicherlich nicht leichter. was für möglichkeiten habe ich jetzt um es zu lösen? sollte ich am besten eine andere schätzmethode wählen. kenne leider nur die likelihood und die momenten methode, wobei ich bei der momenten methode auch keine ahnung hätte. in meiner aufgabenstellung ist ja nicht gesagt welche schätzmethode ich wählen soll.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Likelihoodfunktion ist das Produkt der Einzeldichtewerte - es kommt nur darauf an, das geeignet aufzuschreiben, z.B. so:



Soll also heißen, falls auch nur ein außerhalb des Intervalls [a,b] liegt, dann ist der Likelihood-Funktionswert gleich Null.

Und jetzt überleg mal, wie man den Likelihood-Funktionswert unter diesen Rahmenbedingungen bezüglich a, b maximieren kann.
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

ach so... ok was mich schon die ganze zeit stört das in der dichte die variable x garnicht vorkommt,naja.
also ich schätze mal das die
funktion L(x;a,b) ein maximum animmt falls x1,...,xn=b . ist das richtig?
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

was schreibe ich da eigentlich, bin gerade etwas durcheinander gewesen, ist natürlich quatsch.ich bekomme ein aximum für maximales a und minimales b. also a:=min{x1, x2,...,xn} und b:=max{x1,x2,...xn}.
ist das jetzt richtig? also sind a und b dann meine punktschätzer?
und was mache ich mit (a+b)/2?
mfg gasst
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gasst
ich bekomme ein maximum für maximales a und minimales b. also a:=min{x1, x2,...,xn} und b:=max{x1,x2,...xn}.
ist das jetzt richtig? also sind a und b dann meine punktschätzer?

Richtig.

Zitat:
Original von gasst
und was mache ich mit (a+b)/2?

Das hatte ich oben schon geschrieben, mit m und d. Die Rechnung führt formal völlig analog zum erwartungsgemäßen Resultat

m = (min{x1, x2,...,xn}+max{x1,x2,...xn})/2
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

super.... besten dank.
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

eine sache ist mir noch unklar, wieso muss ich eigentlich m und d als parameter angeben? reicht es nicht einfach:
L(x;m). und wenn nicht wie bist du genau auf d gekommen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei L(x;m) ist, dass durch das m allein die Likelihood-Funktion nicht eindeutig bestimmt ist. Du brauchst noch einen zweiten Parameter d, so dass eine eineindeutige Zuordnung



vorgenommen werden kann, d.h., dass der ursprüngliche Parameterraum auch in Gänze erfasst wird.

Die Wahl von d muss jetzt nur unter diesen Rahmenbedingungen stattfinden, da gibt es viele Möglichkeiten, z.B. d=(b-a)/2 wie oben, oder d=a, oder d=b, oder sogar d=a^3 (letzteres erscheint dann aber doch schon etwas konstruiert). Nochmal - wichtig ist eben nur, dass aus (m,d) auch alle (a,b) rekonstruierbar sind.

Die eben genannten Betrachtungen kann man salopp unter den Begriff "Freiheitsgrade" (FG) zusammenfassen. Deine Gleichverteilung hat zwei FG, und das muss sich dann in der Likelihoodfunktion bezüglich der Parameterzahl widerspiegeln.
gasst Auf diesen Beitrag antworten »

danke, habs jetzt verstanden... wäre von alleine darauf nie gekommen und in meinem skript ist die definition dann anscheinend eh etwas schlampig. da steht nichts über die bedingungen die die parameter überhaupt haben solln, naja...
weisst du zufällig nen gute seite im netz wo die likelihoodschätzung gut beschrieben ist, oder kennst du allgemein ein gut verständliches buch bzw. stochastik/statistik?
danke für alles,
mfg gasst
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