Multiplikation/ Produkt maximal

05.12.2007, 12:08

st4ckola

Multiplikation/ Produkt maximal

Hänge an folgender aufgabe. Tipps oder Ansätze sind willkommen:

Zitat:

Gegeben sind die Ziffern 5,6, 7, 8 und 9. Bilden Sie aus diesen fünf Ziffern eine drei- und eine zweistellige Zahl (jede Ziffer darf nur einmal verwendet werden), so dass das Produkt der beiden Zahlen maximal wird. Begründen Sie Ihr Ergebnis.

05.12.2007, 12:19

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Klar ist, dass die Ziffern in beiden Faktoren absteigend angeordnet sein müssen, um ans Maximum zu kommen. Auf diese Art sind überhaupt nur $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2}=10 \end{eqnarray*}$ Produkte zu betrachten, und das kann man dann ja einfach tun!

Natürlich sind auch tiefere mathematische Optimalitätsbetrachtungen möglich - die Frage ist, ob das den Aufwand hier lohnt. Augenzwinkern

05.12.2007, 12:39

st4ckola

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okay das wäre dann ja mehr oder weniger die "Ausprobiervariante". Wahrscheinlich ist es bei dieser Aufgabe am sinnvollsten.

Interessehalber gefragt: Wie würde man die Sache denn "ein wenig mathematischer angehen"? smile

05.12.2007, 12:50

Das Gehirn

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Du nimmst für die dreistellige Zahl natürlich die höchste Zahl: die 9 Für die zweistellige Zahl die zweit höchste Zahl :8 Bei mir ergibt sich dann für 87*965 das höchste Produkt mit 83955. Eine Begründung könnte sein, dass für 8 und 9 als höchste Zahlen gewählt, das Produkt der Quersummen von 87*965 --> also 15*20 das höchste Produkt ergibt mit 300.

05.12.2007, 12:51

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Zitat:

Original von Das Gehirn
Du nimmst für die dreistellige Zahl natürlich die höchste Zahl: die 9

"Natürlich" ? Was ist mit $\begin{eqnarray*} 96\cdot 875=84000 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

05.12.2007, 12:55

Das Gehirn

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peinlich!
aber das ist wahrsch. die einzige höhere Möglichkeit. Die Begründung könnte also trotzdem stimmen.

05.12.2007, 13:05

st4ckola

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Die Begründung mit dem Produkt der Quersummen stimmt leider auch nicht:

$\begin{eqnarray*} 98*765=74970 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} 17*18=306>300 \end{eqnarray*}$

05.12.2007, 13:22

Das Gehirn

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Zitat:

Die Begründung mit dem Produkt der Quersummen stimmt leider auch nicht

Doch! Da ich gesagt habe, dass es nur für 8 und 9 als höchste Hunderter bzw. Zehner gilt, Lehrer

denn dann stimmt die Lösung mit der Quersumme 300. 84000 ist tatsächlich die einzige höhere Möglichkeit
Gott

Arthur

05.12.2007, 13:31

Tobias

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Zitat:

Doch! Da ich gesagt habe, dass es nur für 8 und 9 als höchste Hunderter bzw. Zehner gilt, denn dann stimmt die Lösung mit der Quersumme 300.

Interessante Entdeckung. Sie ist leider substanzlos, wenn du uns keinen Zusammenhang zur Aufgabe präsentierst.

Man könnte versuchen, die Anzahl der Möglichkeiten zu reduzieren. Dafür schreibt man das Produkt der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_2 \, a_1 \, a_0)_{10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_1 \, b_0)_{10} \end{eqnarray*}$ so:

$\begin{eqnarray*} (100a_2 + 10a_1 + a_0) \cdot (10b_1 + b_0) = 1000a_2b_1 + 100(a_1b_1 + a_2b_0) + 10(a_0b_1 + a_1b_0) + a_0b_0 \end{eqnarray*}$

Nun vergeben wir die Zahlen 5, 6, 7, 8, 9. Dabei gehen die größten Zahlen 8 und 9 an den Term mit dem größten Faktor $\begin{eqnarray*} 1000a_2b_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_2, \, b_1 \in \{8, 9\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 100(a_1b_1 + a_2b_0) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ zu vergeben: $\begin{eqnarray*} a_1, \, b_0 \in \{6, 7\} \end{eqnarray*}$

Zuletzt können wir $\begin{eqnarray*} a_0 = 5 \end{eqnarray*}$ festsetzen.

Es verbleiben also noch 4 Möglichkeiten, die man durchprobieren muss.

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