Partialbruchzerlegung

05.12.2007, 12:34

Tinchen09

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Partialbruchzerlegung

reele und komplexe NS finden

hy, hab 3 Aufgaben.

die erste: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2}{x^3+3x^2+2x} \end{eqnarray*}$
da denke ich mir das die 1.NS $\begin{eqnarray*} \sqrt(2) \end{eqnarray*}$ ist und 2i eine doppelte, das les ich aber ab und weiss net wie ich´s beweissen soll und welche Form A+B+Cx+.... ich schreiben muss

die zweite: $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{x^3-x^2+x-1} \end{eqnarray*}$
ich vereinfache nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{(x-1)(x^2+1)} \end{eqnarray*}$
nun könnte ich ja die Form $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ draus machen.
Dann bekomm ich für A= 0 raus und C= 3!!!
Ist das soweit richtig???
und was ist B???
und ist die 3. NS komplex???

nun die dritte: $\begin{eqnarray*} \frac{-3x^3-5x+x}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$
hier würde ich erst mal Polynomdivision machen
dann hab ich $\begin{eqnarray*} -3x+1+\frac{2x-1}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$
nun würde ich $\begin{eqnarray*} \frac{2x-1}{(x+1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ machen und A und B ausrechnen!!!
Soweit richtig???

und nun komm ich auf das komplexe nicht klar....
vielleicht weiss einer was ich da machen muss.

05.12.2007, 12:50

riwe

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Tinchen09
reele und komplexe NS finden

hy, hab 3 Aufgaben.

die erste: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2}{x^3+3x^2+2x} \end{eqnarray*}$
da denke ich mir das die 1.NS $\begin{eqnarray*} \sqrt(2) \end{eqnarray*}$ ist und 2i eine doppelte, das les ich aber ab und weiss net wie ich´s beweissen soll und welche Form A+B+Cx+.... ich schreiben muss

die zweite: $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{x^3-x^2+x-1} \end{eqnarray*}$
ich vereinfache nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{(x-1)(x^2+1)} \end{eqnarray*}$
nun könnte ich ja die Form $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ draus machen.
Dann bekomm ich für A= 0 raus und C= 3!!!
Ist das soweit richtig???
und was ist B???
und ist die 3. NS komplex???

nun die dritte: $\begin{eqnarray*} \frac{-3x^3-5x+x}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$
hier würde ich erst mal Polynomdivision machen
dann hab ich $\begin{eqnarray*} -3x+1+\frac{2x-1}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$
nun würde ich $\begin{eqnarray*} \frac{2x-1}{(x+1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ machen und A und B ausrechnen!!!
Soweit richtig???

und nun komm ich auf das komplexe nicht klar....
vielleicht weiss einer was ich da machen muss.

$\begin{eqnarray*} x³+3x²+2x=x(x+1)(x+2) \end{eqnarray*}$ oder verwirrt

verwirrt

05.12.2007, 12:51

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Tinchen09
die erste: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2}{x^3+3x^2+2x} \end{eqnarray*}$
da denke ich mir das die 1.NS $\begin{eqnarray*} \sqrt(2) \end{eqnarray*}$ ist und 2i eine doppelte,

Das kann schon von der Logik her nicht stimmen. Wenn ein reelles Polynom eine komplexe Nullstelle hat, dann ist das konjugiert komplexe davon ebenfalls eine Nullstelle. Aber da das Nennerpolynom nur reelle Nullstellen hat, frage ich mich, was du da gerechnet hast. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Tinchen09
nun könnte ich ja die Form $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Bevor man Partialbruchzerlegung macht, sollte man komplett durchkürzen. Sprich: in $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{(x-1)(x^2+1)} \end{eqnarray*}$ kannst du im Zähler noch eine 3 ausklammern und dann kürzen.

Zitat:

Original von Tinchen09
nun würde ich $\begin{eqnarray*} \frac{2x-1}{(x+1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ machen und A und B ausrechnen!!!
Soweit richtig???

Ja.

05.12.2007, 13:06

Tinchen09

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Partialbruchzerlegung
Bei 2tens.
Das gleiche hab ich mir auch schon überlegt, dann würde da aber $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ rauskommen. Dann hab ich aber das Problem das ich das nicht mehr in die Form A+B+Cx+.... bekomme.

und zu 1tens hab ich leider keine Idee.....vielleicht nen Denkanstoss

achso und was ist denn eigentlich mit den komplexen????

05.12.2007, 13:17

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Tinchen09
Bei 2tens.
Das gleiche hab ich mir auch schon überlegt, dann würde da aber $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ rauskommen. Dann hab ich aber das Problem das ich das nicht mehr in die Form A+B+Cx+.... bekomme.

Wieso?

verwirrt

Das hat dann schon die passende Form. Partialbruchzerlegung bedeutet, daß du einen gebrochen rationalen Term mit Zählergrad < Nennergrad aufteilen kannst in Summanden mit Konstanten im Zähler und Linearfaktor im Nenner sowie Linearfaktor im Zähler und quadratischem Polynom im Nenner .

Zitat:

Original von Tinchen09
und zu 1tens hab ich leider keine Idee.....vielleicht nen Denkanstoss

Schreibe erstmal deine Rechnung hin, wie du die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet hast.

Zitat:

Original von Tinchen09
achso und was ist denn eigentlich mit den komplexen????

Da es im Prinzip keine komplexen Nullstellen gab, erübrigt sich die Frage.

05.12.2007, 13:26

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
Also als NS bekomme ich -1, -2 und 0

könnt ich dann schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x+2} \end{eqnarray*}$ ????

hab nen Problem damit, wie ich das mit dem A und B und so schreiben muss..

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05.12.2007, 13:38

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
In der Tat hast du damit ein Problem. Die Regel sagt:

Für jede einfache Nullstelle x_n schreibt man als Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{A_n}{x - x_n} \end{eqnarray*}$ . Statt den Buchstaben A_n kannst du natürlich auch A, B, C, usw. verwenden. smile

smile

05.12.2007, 13:50

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
Also steht da nun
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x} \end{eqnarray*}$
und nun durch Zuhaltemoethode A, B, C berechnen??

05.12.2007, 13:59

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Der Ansatz stimmt jetzt. Was die "Zuhaltemethode" ist, weiß ich nicht, aber es wird wohl eine Methode sein, um die Koeffizienten zu bestimmen.

05.12.2007, 14:09

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
Um die Koeffizienten zu bestimmen hab ich mir folgende Rechnung gemacht...

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2}{(x+1)(x+2)(x)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x} \end{eqnarray*}$

daraus folgt das ich das nun * (mal) $\begin{eqnarray*} (x+1)(x+2)(x) \end{eqnarray*}$ rechnen muss

nun erhalte ich

$\begin{eqnarray*} x^2-2=A(x^2+2x)+B(x^2+x)+C(x^2+3x+2) \end{eqnarray*}$

wenn das richtig sein sollte........, was nun????

05.12.2007, 14:18

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Methode 1: Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Dieser Umstand führt zu dem sogenannten Koeffizientenvergleich.

Methode 2: Setze für x 3 geeignete, aber verschiedene Werte ein (z.B. die Nullstellen). Daraus bekommst du 3 Gleichungen. (Das ist vermutlich deine "Zuhaltemethode".)

Tipp: die Klammern auszumultiplizieren ist für Methode 2 nicht geschickt.

05.12.2007, 14:30

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
daraus folgt

1. -1 = -A + 0 + C (für x=-1)
2. -2 = 0 + 2B + 0 (für x=-2)
3. -2 = 0 + 0 + 2C (für x=0)

daraus folgt
A=0
B=-1
C=-1
ist das richtig??
und muss ich das gleiche prozedere für die Komplexen nochmal machen??

05.12.2007, 14:35

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Tinchen09
1. -1 = -A + 0 + C (für x=-1)
2. -2 = 0 + 2B + 0 (für x=-2)

Leider falsch. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Tinchen09
und muss ich das gleiche prozedere für die Komplexen nochmal machen??

Zum dritten Mal die Frage: wo hast du komplexe Nullstellen? verwirrt

verwirrt

05.12.2007, 14:40

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
Grober Rechenfehler Forum Kloppe

Forum Kloppe

A=1
B=1
C=-1

RICHTIG????? Prost

Prost

ich meinte mit komplex auch die anderen beiden Aufgaben, da hibts ja welche und die muss ich einfach genauso durchziehen??

05.12.2007, 14:49

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Das Ergebnis scheint zu stimmen. Kannst es ja mal in die Partialbruchzerlegung einsetzen und nachrechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Komplexe Nullstellen gibt es allenfalls bei der zweiten Aufgabe und zwar bei der Zerlegung von x²+1. Da man diese Zerlegung aber nicht macht, stellt sich - und da wiederhole ich mich jetzt zum vierten Mal - diese Frage nicht.

EDIT: Obendrein hatte ich ja auch schon gesagt, daß man mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ fertig ist und also eine weitere Zerlegung nicht erforderlich ist.

05.12.2007, 15:35

Tinchen09

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RE: Partialbruchzerlegung
miofachen dank, bis morgen warscheinlich
gruß

Thema abgeschlossen....ENDE Mit Zunge

Mit Zunge

Freude

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