Orthogonalität von e-Funktionen

05.12.2007, 14:44

Potts

Orthogonalität von e-Funktionen

also hab folgendes problem: hab ne aufgabe in der schule bekommen die auch auf so ner schönen seite im lambacher schweizer Analysis Leistungskurs ist: aufgaben zum üben und wiederholen (S. 173) problem nur: normalerweise gibts da immer die lösungen zu... klett hat aber die falschen lösungseiten da reingepackt. also die aufgabe:

Welche Beziehung muss zwischen den Basen a und b der Funktionen f und g mit f(x)=a^x bzw. g(x)=b^x bestehen, damit sich die Graphen orthogonal schneiden?

^=hoch

ich bin soweit das ich weiß, dass ich a^x auch so darstellen kann: e^(x*ln(a))

da das ganze ja orthogonal sein muss weiß man auch m1*m2=-1 sprich:

f'(x)*g'(x)=-1

--> (e^(x*ln(a)) )' * (e^(x*ln(b)) )' = -1

--> ln(a) * e^(x*ln(a)) * ln(b) * e^(x*ln(b)) = -1

--> ln(a)*ln(b) * e^(x(ln(a*b) = -1

--> ln(a)*ln(b) = -1 / (a*b)^x

--> ln(a)*ln(b) = -(a*b)^-x

nur dann komm ich net weiter.....^^

wär nett wenn mir jemand helfen könnte
danke schon mal für die hilfe

ModEdit: Bei e-Funktionen das "e" klein schreiben!

05.12.2007, 16:26

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Stell doch überhaupt erstmal fest, an welcher Stelle x sich die beiden Graphen schneiden! Daran hast du wohl überhaupt noch nicht gedacht. Augenzwinkern

05.12.2007, 16:30

mYthos

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Was dir noch fehlt, ist der Schnittpunkt dieser Exponentialfunktionen! Sie gehen - welcher Basis (ungleich Null) auch immer - allesamt durch den Punkt (0;1). Damit müsstest nun weiterkommen ...

mY+

Edit: Nach fast zwei Stunden - dennoch zu spät.

05.12.2007, 17:37

Potts

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also erst mal danke für die superschnelle hilfe smile

werd mich gleich mal dransetzten und es ausprobieren Augenzwinkern

gruss Potts

05.12.2007, 18:09

Potts

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also erhalte ich dann für x=0 und y=1
setze ich dann x in die ableitung ein:

--> ln(a)*ln(b) = - (a*b)^-x

--> a*b = -e^[(a*b)-x] da x=0

--> a*b = -e^0

--> a*b = -1 da basis^0 immer 1 is

hoffe das is so richtig Augenzwinkern

05.12.2007, 18:14

mYthos

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Zitat:

Original von Potts
..
--> ln(a)*ln(b) = - (a*b)^-x

--> a*b = -e^[(a*b)-x]
...

Dieser Schritt ist schon nicht richtig! Warum wohl?
[Hinweis: Ich meine nicht das -x, ist sicher 'n Schreibfehler, sondern die Logarithmengesetze!]

mY+

05.12.2007, 18:45

Potts

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aah habs^^

aus ln(a)*ln(b) = - (a*b)^-x

folgt: a + b = -e^[(a*b)-x]

also ist a+b= -1
aber so gesehn heißt das dann für die beziehung das basis a + basis b -1 ergeben muss?! waage die lösung aber zu bezweifeln.

05.12.2007, 18:49

mYthos

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.. das wage ich jedoch noch stärker zu bezweifeln.

Es ist $\begin{eqnarray*} \ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b \end{eqnarray*}$

dies trifft jedoch hier nicht zu. Gehe lieber in die andere Richtung (wenn die Exponenten multipliziert werden ...)

mY+

05.12.2007, 19:06

Potts

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so gesehn müsste ich es auf beiden seiten machen.
also jetzt mal ganz ausführlich:

ln(a)*ln(b) = - (a*b)-x | e

---> e^[ln(a)*ln(b)] = -e^[(a*b)-x]

--> e^ln(a) + e^ln(b) = -[e^-ax + e^-bx]

aber ich glaub hier ist schon wieder ein fehler!? bin mir nicht sicher mit dem rechter teil der gleichung

05.12.2007, 19:38

mYthos

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Nein, so auch nicht.
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \ln a \cdot \ln b = \ln (a^{\ln b}) \ \text{oder natürlich auch} \ \ln (b^{\ln a}) \end{eqnarray*}$

So gesehen, bringt das auch nicht viel Neues, ausser z.B. die $\begin{eqnarray*} \ln b \end{eqnarray*}$ - te Wurzel, *hust*. Belassen wir es daher einfach - ausgehend von

$\begin{eqnarray*} \ln a \cdot \ln b = - (a \cdot b)^{-x} \end{eqnarray*}$

bei

$\begin{eqnarray*} \ln a \cdot \ln b = - 1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \ln a = - \frac{1}{\ln b} \end{eqnarray*}$

mY+

05.12.2007, 19:51

Potts

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hmm doch so einfach^^... nun gut. trotzdem danke für die viele und ausführliche hilfe smile

05.12.2007, 20:02

mYthos

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Du könntest natürlich dennoch auf die e-Potenz - Schreibweise übergehen (entlogarithmieren), dann hast du die erwähnte " $\begin{eqnarray*} \ln b \end{eqnarray*}$ - te Wurzel"

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln a = - \frac{1}{\ln b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\ln a} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{\ln b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{\ln b}} = \sqrt [\ln b]{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$

Wem's gefällt Big Laugh

mY+

05.12.2007, 20:42

Potts

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och gefallen tut mir das durchaus Augenzwinkern

aber bleib doch lieber bei der anderen die is für andere leichter nachvollziehbar *g*

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