Spurabbildung

05.12.2007, 17:16

daN-R-G

Spurabbildung

Hallo ihr!

Ich hab hier ne Aufgabe, wo ich nur zur Hälfte weiterkomme, und nen kleinen Denkanstoss brauche. Also... Die Aufgabe lautet so:

Die Spur einer quadratischen Matrix $\begin{eqnarray*} A = (a)_{ij} \in M_n(K) \end{eqnarray*}$ werde definiert durch $\begin{eqnarray*} Spur(A) = \sum_{i=1}^n~a_{ii} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass hierdurch eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} Spur: M_n(K) \rightarrow K \end{eqnarray*}$ definiert wird, welche für alle $\begin{eqnarray*} A, B \in M_n(K) \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} Spur(AB) = Spur(BA) \end{eqnarray*}$ hat.

So viel zur Aufgabe. Nun habe ich erstmal folgendes gemacht, um die Linearität nachzuweisen:

$\begin{eqnarray*} Spur(A) + Spur(B) = \sum_{i=1}^n~a_{ii} + \sum_{i=1}^n~b_{ii} \\ = \sum_{i=1}^n~a_{ii}+b_{ii} \\ = Spur(A+B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Spur(\lambda A) = \sum_{i=1}^n~\lambda a_{ii} \\ = \lambda \sum_{i=1}^n~a_{ii} \\ = \lambda Spur(A) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich hiermit die Linearität schonmal korrekt bewiesen habe. Nun frage ich mich allerdings, wie ich diese (Kommutativität?!) beweisen soll, also dass gilt: $\begin{eqnarray*} Spur(AB) = Spur(BA) \end{eqnarray*}$ . Kann mir da wohl irgendwer unter die Arme greifen? Wäre echt nett!

Ansonsten: Schönen Abend noch smile

05.12.2007, 18:22

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kommutativität?!

Du hast hier eine Abbildung, bei Verknüpfungen spricht man von kommutativität nicht bei Abbildungen. Der Beweis der Aussage ist ziemlich straight forward

$\begin{eqnarray*} spur(AB) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{ki} = ... \end{eqnarray*}$

Du musst an einer Stelle nur noch benutzen das

$\begin{eqnarray*} Spur(A) = Spur(A^T) \end{eqnarray*}$

gilt. Wenn Du klein schreibst passt alles in eine Zeile Big Laugh

05.12.2007, 18:33

daN-R-G

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Antwort. Meinst du das dann in etwa so?!:

$\begin{eqnarray*} Spur(AB) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ki} a_{ik} = Spur(BA) \end{eqnarray*}$

Und das dann in Verbindung mit dem Linearitätsnachweis würde ausreichen? Zumindest wüsste ich dann nicht, was ich noch zeigen sollte.

mfg
Danny

05.12.2007, 18:36

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie es da steht ist es falsch weil

$\begin{eqnarray*} \sum_{k}^{} B_{ki}A_{ik} \end{eqnarray*}$

nicht das Matrizenprodukt beschreibt. Achte auf die Indizes.

edit

So jetzt hab ich nicht auf die Indizes geachtet. Du hast ja die Summen auch vertauscht. Es sollte so passen, die Summen sind ja endlich und damit (ohne groß drüber nachzudenken) vertauschbar.

05.12.2007, 18:42

daN-R-G

Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte gerade schon sagen, dass ich jetzt absolut nicht folgen kann *g*

Also evtl. mach ich besser noch nen Zwischenschritt, rein, also:

$\begin{eqnarray*} Spur(AB) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ik} b_{ki} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ki} a_{ik} = Spur(BA) \end{eqnarray*}$

Also passt das dann wohl soweit.. Ich danke Dir vielmals Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Spurabbildung

Verwandte Themen