Politikerquiz

05.12.2007, 18:08

Shadow86

Politikerquiz

Du nimmst an einem Quiz teil und bekommst eine Liste mit Namen von n Politikerinnen sowie n Fotos von Männern. Jeder dieser Männer ist mit einer der Politikerinnen verheiratet. Du sollst nun jede Politikerin ihrem Ehemann zuordnen. Da du dich nicht auskennst, bildest du die Paare rein zufälllig. Es sei X die Anzahl deiner richtig zugeordneten Paare. Bestimme E(X), Var(X), P(X=n-1)

Hinweis: $\begin{eqnarray*} X = \sum_{i=1}^n~X_i = \begin{pmatrix} 1; i-tes Bild richtig zugeordnet \\ 0; sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo gibs noch mal die geschweifte Klammer?

Also $\begin{eqnarray*} P(X=n-1) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil wenn man n-1 richtig hat, muss auch das n-te richtig sein, das ist einfach.

Für den Erwartungswert dachte ich mir
$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{n}*X_1+\frac{1}{n-1}*X_2 + ... + \frac{1}{1}*X_n = \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{n+1-i}*X_i \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir sagen, ob E(X) richtig ist?

05.12.2007, 18:22

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Zitat:

Original von Shadow86
Also $\begin{eqnarray*} P(X=n-1) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil wenn man n-1 richtig hat, muss auch das n-te richtig sein, das ist einfach.

Jepp, klassische Fangfrage, souverän von dir gelöst. Freude

Zitat:

Original von Shadow86
Für den Erwartungswert dachte ich mir
$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{n}*X_1+\frac{1}{n-1}*X_2 + ... + \frac{1}{1}*X_n = \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{n+1-i}*X_i \end{eqnarray*}$

Nein, vollkommen verkehrt. Nutze doch die Linearität des Erwartungswertes:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) \end{eqnarray*}$

Und bei solchen 0-1-Zufallsgrößen wie $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} E(X_i) = P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ (wenn du's nicht kennst oder glaubst, rechne nach). Bleibt noch, diese letztere Wahrscheinlichkeit zu bestimmen...

Bei der Varianz wird's etwas komplizierter, dazu später mehr.

05.12.2007, 21:55

Shadow86

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Und bei solchen 0-1-Zufallsgrößen wie $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} E(X_i) = P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ (wenn du's nicht kennst oder glaubst, rechne nach). Bleibt noch, diese letztere Wahrscheinlichkeit zu bestimmen...

versteh ich nicht. Aber die Überlegung, dass ich am Anfang die Wahrscheinlichkeit von 1/n habe, ist doch richtig oder? Und beim zweiten Paar dann 1/n-1 usw.... Am Ende ists ja dann 1/1, sonst wäre P(X=n-1) ja nicht 0 ... (?)

05.12.2007, 21:59

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Zitat:

Original von Shadow86

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und bei solchen 0-1-Zufallsgrößen wie $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} E(X_i) = P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ (wenn du's nicht kennst oder glaubst, rechne nach). Bleibt noch, diese letztere Wahrscheinlichkeit zu bestimmen...

versteh ich nicht.

Was davon verstehst du nicht? Bitte konkreter.

Zitat:

Original von Shadow86
Aber die Überlegung, dass ich am Anfang die Wahrscheinlichkeit von 1/n habe, ist doch richtig oder?

Ja.

Zitat:

Original von Shadow86
Und beim zweiten Paar dann 1/n-1 usw....

Nein, typischer Trugschluss. Die Wkt, dass das zweite Foto richtig zugeordnet wird, ist ebenfalls 1/n.

Wovon du hier sprichst, ist die bedingte Wkt, dass das zweite Foto richtig ist, wenn auch schon das erste richtig ist, also $\begin{eqnarray*} P(X_2=1 | X_1=1) \end{eqnarray*}$ . Aber was soll das hier???

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Vielleicht liegt ja das Missverständnis in dem Gewurstel in deinem ersten Beitrag. Ich hatte es nur für Probleme mit LaTeX gehalten, aber vielleicht steckt ja inhaltliches Unverständnis dahinter, deshalb mal sauber:

$\begin{eqnarray*} X = \sum_{i=1}^n ~ X_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_i = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls i-tes Bild richtig zugeordnet}\\ 0 & \; \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

05.12.2007, 22:37

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Abgesehen von den falschen Wkten muss ich

Zitat:

Original von Shadow86
Für den Erwartungswert dachte ich mir
$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{n}*X_1+\frac{1}{n-1}*X_2 + ... + \frac{1}{1}*X_n = \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{n+1-i}*X_i \end{eqnarray*}$

nochmal generell kritisieren: Der Erwartungswert als Linearkombination (???) von Zufallsgrößen ist völlig, ja unverzeihlich abwegig - diese Linearkombination ist ja wieder eine Zufallsgröße. Der Erwartungswert muss aber eine (deterministische, also nichtzufällige) Zahl sein!

05.12.2007, 22:49

Shadow86

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Shadow86

Zitat:

versteh ich nicht.

Was davon verstehst du nicht? Bitte konkreter.

Wieso reicht es, die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ anzugeben. Das wäre ja die Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Bild richtig zugeordnet wird (?)

Zitat:

Original von Shadow86
Und beim zweiten Paar dann 1/n-1 usw....

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, typischer Trugschluss. Die Wkt, dass das zweite Foto richtig zugeordnet wird, ist ebenfalls 1/n.

Wovon du hier sprichst, ist die bedingte Wkt, dass das zweite Foto richtig ist, wenn auch schon das erste richtig ist, also $\begin{eqnarray*} P(X_2=1 | X_1=1) \end{eqnarray*}$ . Aber was soll das hier???

Ja, ich meinte die bedingte Wahrscheinlichkeit, aber die Frage ist, ob mir das für E(X) weiterhilft...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht liegt ja das Missverständnis in dem Gewurstel in deinem ersten Beitrag. Ich hatte es nur für Probleme mit LaTeX gehalten, aber vielleicht steckt ja inhaltliches Unverständnis dahinter, deshalb mal sauber:

$\begin{eqnarray*} X = \sum_{i=1}^n ~ X_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_i = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls i-tes Bild richtig zugeordnet}\\ 0 & \; \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt so

05.12.2007, 22:55

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Zitat:

Original von Shadow86
Wieso reicht es, die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ anzugeben. Das wäre ja die Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Bild richtig zugeordnet wird (?)

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ berechnet sich gemäß

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_k x_k\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$ ,

dabei sind die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ die Werte, die die Zufallsgröße überhaupt annehmen kann.

Bei einer 0-1-Zufallsgröße sind das nur die beiden Werte 0 und 1, also rechnet man

$\begin{eqnarray*} E(X) = 0\cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = P(X=1) \end{eqnarray*}$ .

Das meinte ich oben mit

Zitat:

Original von Arthur Dent
(wenn du's nicht kennst oder glaubst, rechne nach).

Aber du hattest wohl keine Lust dazu. unglücklich

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