Ungleichung

05.12.2007, 18:52

Lunalise

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Ungleichung

Hallo Leute Wink

Wink

Ich habe so eine Aufgabe mit der ich Ansatzschwierigkeiten habe

Also das will ich beweisen

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x2})- (e^{-x2})}{(e^{x2})- (e^{-x2})} > \frac{(e^{x1})- (e^{-x1})}{(e^{x1})- (e^{-x1})} \end{eqnarray*}$

dafür nehme ich ja an, das x2 > x1 ist.

aber jetzt hakts. verwirrt

verwirrt

also erst dacht ich mir das ich das umstelle und dabei kam das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x2})- (e^{-x2})}{(e^{x2})- (e^{-x2})} * \frac{(e^{x1})- (e^{-x1})}{(e^{x1})- (e^{-x1})} > 1 \end{eqnarray*}$

aber ich weiß einfach nicht ob ich da den richtigen weg gewählt habe und vorallem weiß ich nicht wie es weitergehen könnte hat dazu vielleicht jemand ne idee

05.12.2007, 19:02

tmo

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da steht 1>1 verwirrt

verwirrt

06.12.2007, 06:59

Lunalise

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Ja habe ich auch schon gesehen, ich habe mir das nochmal etwas genauer angeguckt und bin dann auch darauf gestoßen, das dieses dann ein Wiederspruch zur Ungleichung ist. Hammer

Hammer

ich war vielleicht gestern ein wenig daneben

trotzdem danke

06.12.2007, 14:06

Lunalise

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Also ich bin echt ein dummkopf ich habe die Aufgabe falsch hingeschrieben das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x2})- (e^{-x2})}{(e^{x2})+(e^{-x2})} > \frac{(e^{x1})- (e^{-x1})}{(e^{x1})+(e^{-x1})} \end{eqnarray*}$

also ich habe das jetzt umgeformt auf:

$\begin{eqnarray*} [((e^{x2})-(e^{-x2}))*((e^{x1})+(e^{-x1}))] > [((e^{x1})-(e^{-x1}))*((e^{x2})+(e^{-x2}))] \end{eqnarray*}$

sorry Forum Kloppe

Forum Kloppe

aber ich hoffe ihr könnt mir trotzdem weiterhelfen

06.12.2007, 14:10

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Statt $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ meinst du vermutlich Indizes, also $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Und dass für diese $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ gelten soll, hast du auch vergessen zu erwähnen?

Eigentlich hättest du auch gleich schreiben können, dass du die strenge Monotonie der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \tanh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

nachweisen willst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2007, 14:16

Lunalise

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also das x1 größer sein soll als x2 habe ich ja oben schon geschrieben.

Ja du hast recht natürlich will ich das nachweisen, aber deshalb habe ich ja auch geschrieben oh nein ich habe gerade geguckt, ich dachte ich hätte das dabei geschrieben.

also wie ich vorgehen musste für den anfang weiß ich aber ich weiß leider irgend wie nicht wie ich das auflösen kann

wäre dankbar für jeden Tipp denn selber will ich ja rechnen

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06.12.2007, 14:21

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Zitat:

Original von Lunalise
also das x1 größer sein soll als x2 habe ich ja oben schon geschrieben.

Ja, entschuldige, deinen ersten Beitrag hatte ich gar nicht mehr angesehen - ich dachte, da war alles falsch. Im letzten stand dann nichts mehr von x1 < x2.

Zitat:

Original von Lunalise
$\begin{eqnarray*} [((e^{x2})-(e^{-x2}))*((e^{x1})+(e^{-x1}))] > [((e^{x1})-(e^{-x1}))*((e^{x2})+(e^{-x2}))] \end{eqnarray*}$

Ok, multiplzier doch einfach mal die Produkte auf beiden Seiten aus, dann kannst du schon eine ganze Menge wegstreichen und den Rest neu anordnen und zusammenfassen.

06.12.2007, 14:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lunalise
Ja du hast recht natürlich will ich das nachweisen

Eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f : (a,b)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend, wenn $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in (a,b). \end{eqnarray*}$ Weißt du das schon? Wenn ja, dann leite die Funktion halt ab und verwende

$\begin{eqnarray*} \sinh'(x) = \cosh(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh'(x) = \sinh(x). \end{eqnarray*}$

Weiterhin dürfte interessant für dich sein, dass $\begin{eqnarray*} \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt.

06.12.2007, 14:44

Lunalise

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Also das mit der ableitung habe ich schon gemacht das war kein problem aber ich wollte das andere eben auch verstehen, bzw, ausrechenen können weil ich sich sein wollte ob es so auch geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2007, 14:45

Lunalise

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Also das andere rechne ich gerade, bin nur nebenbei mit Essenkochen beschäftigt

06.12.2007, 14:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lunalise
Also das andere rechne ich gerade

Ich dachte, das hättest du schon, und es sei kein Problem gewesen...

06.12.2007, 14:52

Lunalise

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also ich habe das jetzt ausmultipliziert aber wenn ich das dann wegstreiche, fällt irgenwie alles weg weil auf beiden Seiten das selbe steht oder habe ich das jetzt falsch gemacht?

mmmhhh....

06.12.2007, 14:54

WebFritzi

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Ohne Glaskugel kann man diese Frage nicht beantworten. Schreib deinen Rechenweg hier rein. Nur so kann man etwas sagen...

06.12.2007, 14:56

Lunalise

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An webfritzi Wink

Wink

Ja ja das meinte ich ja ebend das mit der Ableitung weiß ich und das war auch kein Problem für mich, aber ich will wissen wie ich das mit der Möglichkeit berechne wenn ich Voraussetzte, das x2 > x1 ist aber als ich das gerade ausmultiplizeirt habe fällt alles wedurch wegstreichen und jetzt frage ich mich ob das dann richtig sein kann wie ich gerechnet habe. Das sie streng monoton steigt weiß ich ja durch die ableitung schon aber ich will das andere eben auch können smile

smile

06.12.2007, 14:58

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Zitat:

Original von Lunalise
aber als ich das gerade ausmultiplizeirt habe fällt alles wedurch wegstreichen

Nein, es fällt nicht alles weg. Es sei denn, du hast aus ein paar Minus- einfach Pluszeichen gemacht oder umgekehrt - dann könnte sowas passieren.

06.12.2007, 15:03

Lunalise

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also rechenweg:

$\begin{eqnarray*} (e^{x2}*e^{x1})+(e^{x2}*e^{-x1})+(-e^{x2}*e^{x1})+(-e^{-x2}*e^{-x1})>(e^{x1}*e^{x2})+(e^{x1}*e^{-x2})+(-e^{x1}*e^{x2})+(-e^{-x1}*e^{-x2}) \end{eqnarray*}$

richtig?

06.12.2007, 15:04

Lunalise

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und dann kürzt sich ja alles raus oder

06.12.2007, 15:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lunalise
und jetzt frage ich mich ob das dann richtig sein kann wie ich gerechnet habe.

Bitte lies doch die Beiträge richtig, die für dich geschrieben werden. Ich habe dir dazu schon etwas geschrieben.

EDIT: OK, jetzt hast du verstanden, was ich dir mitteilen wollte.

06.12.2007, 15:05

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Zitat:

Original von Lunalise
$\begin{eqnarray*} (e^{x2}*e^{x1})+(e^{x2}*e^{-x1})+(-e^{x2}*e^{x1})+(-e^{-x2}*e^{-x1})>(e^{x1}*e^{x2})+(e^{x1}*e^{-x2})+(-e^{x1}*e^{x2})+(-e^{-x1}*e^{-x2}) \end{eqnarray*}$

richtig?

Nein, nicht ganz: Einige Vorzeichen in den Exponenten fehlen - wenn ich es richtig sehe, bei einem $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und einem $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

06.12.2007, 15:58

Lunalise

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alo ja stimmt

beim dritten und beim vorletzten dann bleibt

$\begin{eqnarray*} [(-e^{-x2})*(e^{x1})]>[(-e^{-x1})*(e^{x2})] \end{eqnarray*}$

so aber wirckliche wissen tue ich das doch jetzt immer noch nicht

06.12.2007, 15:59

Lunalise

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also ich meine das es streng monoton steigen ist weiß ich dadurch ja immer noch nicht

06.12.2007, 16:06

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Zitat:

Original von Lunalise
$\begin{eqnarray*} [(-e^{-x2})*(e^{x1})]>[(-e^{-x1})*(e^{x2})] \end{eqnarray*}$

so aber wirckliche wissen tue ich das doch jetzt immer noch nicht

Warum hörst du hier auf? Multiplizier das doch nochmal mit $\begin{eqnarray*} e^{x_1+x_2} \end{eqnarray*}$ , da steht dann

$\begin{eqnarray*} e^{2x_1} < e^{2x_2} \end{eqnarray*}$ ,

was zweifelsohne richtig ist, wenn du die strenge Monotonie der Exponentialfunktion benutzen darfst.

Und jetzt denk mal dran, was du da die ganze Zeit gemacht hast: Du hast die nachzuweisende Monotonieungleichung für $\begin{eqnarray*} \tanh \end{eqnarray*}$ äquivalent umgeformt...

06.12.2007, 16:54

Lunalise

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aber was ist mit dem minus vor dem einem e das spielt doch auch ne Rolle

06.12.2007, 16:57

Lunalise

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oder ist -e^0 = 1 ?????? ahn nein es ist -1 dann muss ich also noch das minus hinzufügen oder nicht???

06.12.2007, 17:35

Lunalise

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Also aus meiner Rechnung geht irgendwie nicht hervor das das Minus dann verschwindet unglücklich

unglücklich

und ich weiß jetzt nicht was richtig und was falsch ist verwirrt

verwirrt

06.12.2007, 17:38

AD

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Bei all den Schwächen und Unkonzentriertheiten, die ich da lesen muss, solltest du das vielleicht wirklich erstmal weglegen. Aus $\begin{eqnarray*} -a > -b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , das sind elementarste Ungleichungsumformungen:

Entweder durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ , oder durch Addition von $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ , rum wie num.

06.12.2007, 17:43

Lunalise

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Achso das wusste ich gar nicht,
ich habe jetzt in der uni zum ersten mal Ungleichungen kennen gelernt geschockt

geschockt

und das dann auch ohne Erklärung weil der Prof natürlich denkt das wir das können aber auf meiner Schule damals habe wir nur gelichungen gemacht. das ist ir echt peinlich das ich das nicht kann, aber ich will es lernen. Selbst meine Kleine Schwester hatte das in der Schule und das ärgert mich natürlich och mehr das mir das nicht beigebracht wurde unglücklich

unglücklich

.

06.12.2007, 17:47

AD

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Na, wir konnten das auch nicht wissen - im Hochschulforum gehen wir davon aus, dass diese elementaren Sachen bekannt sind und einigermaßen sitzen. Also bei starken Unsicherheiten das nächste mal besser in der Schulmathematik posten, da sind die Helfer dann etwas nachsichtiger. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2007, 17:48

Lunalise

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das erfreuhliche ist das ich es jetzt immerhin weiß Tanzen

Tanzen

und danke das du die Geduld hattes mich nicht einfach für nur für dumm zu erklären sondern es mir hinzuschreiben wie es geht. Freude

Freude

Nunja du kannst ja nicht automatisch davon ausgehen, das ich soetwas nicht in der Schule hatte ich kann es selbst kaum glaube aber so ist es

06.12.2007, 21:17

WebFritzi

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Wichtig ist, dass du mitgearbeitet hast und schliesslich doch deine Rechungen praesentiert hast. Da mag (bzw. kann) man dann viel lieber helfen, was du an Arthur ja auch gesehen hast. Was DU wiederum davon hast, ist Motivation, weil du etwas verstanden hast. Und das ist doch super! smile

smile

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