Beweis Approximationssatz von Weierstrass richtig?

21.04.2005, 19:22

defatigation

Beweis Approximationssatz von Weierstrass richtig?

Seien a,b aus R, a<b. Zu zeigen ist, dass es zu jeder Funktion F aus C [a,b] und jedem €>0 (epsilon) ein Polynom p gibt mit sup |F(x)-p(x)|<= €.

Ich weiß, dass zu jeder 2 pi periodischen Funktion f aus C und jedem €>0 eine Funktion
$\begin{eqnarray*} q(x)=\sum_{k=-N}^N~c*exp(ixk) \end{eqnarray*}$
gibt mit sup |f(x)-q(x)|<= €.

Kann ich jetzt sagen, dass es ein

sup |F(x)-q(x)|<= €/2 und ein
sup |q(x)-p(x)|<= €/2 gibt, wobei

$\begin{eqnarray*} q(x)=\sum_{k=-N}^N~c*exp(ixk) \end{eqnarray*}$ die Approximation durch das Taylor Polynom darstellt
und
$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{ixk}{n!}^{n} \end{eqnarray*}$ die konvergierende Potenzreihe, so dass folgt:

|F(x)-p(x)|<= | F(x) - q(x) | + | q(x) - p(x) | <= €/2 + €/2 = €

Wäre der Beweis korrekt?

21.04.2005, 20:19

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RE: Beweis Approximationssatz von Weierstrass richtig?
Falls du das wirklich voraussetzen kannst

Zitat:

Original von defatigation
Ich weiß, dass zu jeder $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodischen Funktion f aus C und jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine Funktion
$\begin{eqnarray*} q(x)=\sum_{k=-N}^N~c_k\cdot\exp(i\,xk) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \sup\limits_x |f(x)-q(x)|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

dann scheint der Weg von der groben Beweisskizze her möglich zu sein. Aber es sind noch jede Menge technische Fehler drin, die aber alle reparierbar sind.

21.04.2005, 20:48

defatigation

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danke für die antwort!

die voraussetzung haben wir eine aufgabe vorher bewiesen, deshalb dürfen wir sie verwenden. wärst du so nett und könntest mir sagen, wo noch die fehler liegen?

vielen dank!

21.04.2005, 21:08

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RE: Beweis Approximationssatz von Weierstrass richtig?
Zunächst mal ist, wie ich geschrieben habe

$\begin{eqnarray*} q(x)=\sum_{k=-N}^N~c_k\cdot\exp(i\,xk) \end{eqnarray*}$

also mit $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ statt einfach nur $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Und dann musst du

$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{n=0}^M \sum_{k=-N}^N~c_k\frac{(ixk)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

setzen, dann erst ist es ein passendes Polynom. Über die passende Wahl der oberen Summationsgrenze $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ musst du dir natürlich noch Gedanken machen!

Schließlich galten alle diese Betrachtungen jetzt unverändert nur für ein Intervall [a,b] der Länge $\begin{eqnarray*} 0<b-a<2\pi \end{eqnarray*}$ . Durch geeignete lineare Transformation ist das aber kein Problem, und lineare Transformationen (ob nun im Argument oder des Funktionswertes) überführen ja Polynome wieder in Polynome.

21.04.2005, 22:23

defatigation

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wieso muss da eine doppelsumme hin?

21.04.2005, 22:33

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RE: Beweis Approximationssatz von Weierstrass richtig?
Ich bin davon ausgegangen, dass dein Beweis darauf fusst, die Reihe

$\begin{eqnarray*} \exp(i\,xk)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ixk)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

(oder besser gesagt nur eine endliche Partialsumme davon) in die Formel für q(x) einzusetzen, und somit q(x) zu approximieren. Oder was hattest du vor? verwirrt

21.04.2005, 22:46

defatigation

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ja, is klar jetzt, hast natürlich recht. vielen dank für deine hilfe!

22.04.2005, 19:17

Mathespezialschüler

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