Konvergente Reihen |
06.12.2007, 18:33 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergente Reihen wir sollen ein paar Reihen (anhand der diversen Konvergenzkritierien) auf Konvergenz untersuchen. Darunter auch diese hier: Also... spontan hätte ich da ja jetzt alles weg gekürzt, sp dass in der Klammer nur der Ausdruck stehen bleibt. Aber irgendwie frage ich mich, ob ich das darf. Eigentlich spricht nichts mir bekanntes dagegen, aber dadurch würde die Aufgabe irgendwie zu einfach werden. Denn wir sollen ja noch nicht einmal den Grenzwert explizit angeben, sondern die Frage ist ja nur nach dem "ob". Kann mir da jemand Gewissheit geben oder aber mich in die Schranken weisen? |
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06.12.2007, 18:40 | hxh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja klar wieso sollte man das nicht dürfen ? würe mal sagen das läuft daraus dass 1/n divergent und hier eben 1/n² konvergent ist. |
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06.12.2007, 18:47 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wollte nur Gewissheit haben. Also dann einfach noch kurz mit Quotientenkriterium prüfen und fertig, ja? |
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06.12.2007, 18:49 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mit dem quotientenkriterium kannst du über die konvergenz von keine aussagen machen. |
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06.12.2007, 18:52 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein? Äh... womit denn dann? |
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06.12.2007, 18:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das majorantenkriterium bietet sich an: letzteres kannst du entweder mit PBZ oder durch geschicktes verändern des zählers so umformen, dass du eine teleskopreihe erhältst. |
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06.12.2007, 19:04 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also im Zähler anstelle von "n" den Ausdruck "n+1-n" schreiben und dann auseinander ziehen? Dann erhalte ich: , richtig? |
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06.12.2007, 19:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja das ist richtig. dass diese reihe konvergiert ist leicht zu zeigen, da man die partialsummen direkt berechnen kann. |
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06.12.2007, 19:20 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
*grübel* ... das ist doch bei einer Reihe c_n einfach , oder? Edit: Also 1 - 1/(n+1). Okay, das haut hin. Danke |
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06.12.2007, 19:58 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist NICHT richtig. |
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06.12.2007, 19:59 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich muss nochmal eure Nerven strapazieren. Da nun alle Folgen konvergent waren und nur noch die letzte übrig geblieben ist, vermute ich einfach mal, dass die nicht konvergent ist (wenn wir prüfen sollen, ob sie konvergent sind, ist ja meistens eine dabei, die es eben nicht ist). Tolle Logik, hm? Also: Das Ding sieht auch sowieso nicht wirklixh konvergent aus. Nur, wie zeige ich das nun am besten? Das muss ich ja sicher wieder über eines der Kriterien direkt zeigen. Kann man das mit einem Widerspruchsbeweis machen, also zunächst einmal annehmen, dass das Ding doch konvergiert? |
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06.12.2007, 19:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
auf den ersten blick sieht es vielleicht so aus, aber Mulder hat sinnvollerweise (ob absichtlich oder nicht, weiß ich nicht ) eine indexverschiebung gemacht ist also richtig. |
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06.12.2007, 20:01 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Echt? Das geschah wenn überhaupt ohne Absicht. |
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06.12.2007, 20:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also die letzte reihe, die du angegeben hast, divergiert, wie du schon vermutet hast. eine divergente minorante kannst du so finden: für gilt: |
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06.12.2007, 20:20 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fome das also einfach weiter um, bis daraus eine aussagekräftige Aussage wird und schon bin ich fertig? Aber wo kommen denn die -4 her? Das ist ja sicher keine Willkür... |
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06.12.2007, 20:24 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein das ist keine willkür. sieht doch stark nach der 3ten binomischen formel aus |
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06.12.2007, 20:41 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist los? Wollt ihr das so lassen? |
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06.12.2007, 20:44 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wo liegt denn dein problem? dass man bei n=2 anfängt, sollte selbstverständlich sein, da man sonst durch 0 teilt. |
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06.12.2007, 21:16 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist der Grenzwert also 1? |
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06.12.2007, 21:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja. |
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06.12.2007, 21:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm... ich muss nochmal was fragen. Angenommen man hat eine absolut konvergente Reihe a_n und eine beschränkte Folge b_n. Das heißt doch nicht, dass auch absolut konvergent ist, oder? Oder ist es das wegen dem Leibnizkriterium doch? |
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06.12.2007, 21:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
doch das ist so wegen mit |
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06.12.2007, 21:45 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also |
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06.12.2007, 21:51 | hxh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht verstehst du da was falsch. Es wurde einfach das Majorantenkriterium angewandt. Die MAjorante war konvergent, also ist es auch diese Reihe. Wo ist das Problem ? keiner hat behauptet, dass der Grenzwert der Reihen 1/n² gegen 1 konvergiert. |
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06.12.2007, 21:52 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wir haben in diesem thread gezeigt: da sehe ich keinen widerspruch PS: wir sollten diese diskussion nach hinten verlegen. erstmal sollte dem threadersteller alles klar sein. wie siehts diesbezüglich aus Mulder? |
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06.12.2007, 21:57 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähm... mich verwirrt das gerade alles etwas. In diesem Thread hier Abs. Konvergenz hatte jemand eine Aufgabe gestellt (die muss ich zufällig auch bearbeiten). Und zudem diese Annahme, die ich gerade gepostet habe. Es ist aber anzunehmen, dass eine der beiden Annahmen (aus diesem oder dem anderen Thread) falsch ist. Ich dachte, die aus dem anderen sei richtig, zumindest kam das bei meinen Rechnungen so raus, wenn ich mich nicht (wie üblich) vertan habe. Aber jetzt sagst du ja, dass diese hier stimmt. Und das macht eigentlich auch Sinn. |
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06.12.2007, 22:00 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso das denn? |
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06.12.2007, 22:01 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das vermute ich nur. Auf unserem Aufgabenzettel stehen diese beiden Annahmen. Und wir sollen prüfen welche stimmt. Genauer Wortlaut: "Beweisen oder widerlegen sie". Ich glaube halt nicht, dass die zu Beginn des Studiums so gemein sind, uns da zwei richtige Annehmen hinzuknallen und dann darunter zu schreiben, wir sollen "beweisen oder widerlegen". |
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06.12.2007, 22:04 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beide Aussagen sind wahr, ob du es glaubst oder nicht. |
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06.12.2007, 22:06 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann es eine Majorante sein, wenn ihr Grenzwert kleiner ist? |
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06.12.2007, 22:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, so kam das ja auch bei meinen Rechnungen hin. Mich überraschte das nur, dass da so eine "Falle" eingebaut wurde, weil das bisher noch nie so gemacht wurde. Aber wenn sich hier alle kollektiv da einig sind, will ich das auch gar nicht anzweifeln. |
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06.12.2007, 22:07 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Falle hast du selbst gelegt. |
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06.12.2007, 22:35 | Teddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt bin ich zufrieden. Ich kann auch sagen: ich muss von pi²/6 1 abziehen, da n bei 2 beginnt. |
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