Konvergente Reihen

Neue Frage »

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Reihen
Hallo,

wir sollen ein paar Reihen (anhand der diversen Konvergenzkritierien) auf Konvergenz untersuchen. Darunter auch diese hier:



Also... spontan hätte ich da ja jetzt alles weg gekürzt, sp dass in der Klammer nur der Ausdruck stehen bleibt. Aber irgendwie frage ich mich, ob ich das darf. Eigentlich spricht nichts mir bekanntes dagegen, aber dadurch würde die Aufgabe irgendwie zu einfach werden. Denn wir sollen ja noch nicht einmal den Grenzwert explizit angeben, sondern die Frage ist ja nur nach dem "ob".

Kann mir da jemand Gewissheit geben oder aber mich in die Schranken weisen? Augenzwinkern
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar wieso sollte man das nicht dürfen ?

würe mal sagen das läuft daraus dass 1/n divergent und hier eben 1/n² konvergent ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte nur Gewissheit haben. Augenzwinkern

Also dann einfach noch kurz mit Quotientenkriterium prüfen und fertig, ja?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

mit dem quotientenkriterium kannst du über die konvergenz von keine aussagen machen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein? Äh... womit denn dann? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

das majorantenkriterium bietet sich an:



letzteres kannst du entweder mit PBZ oder durch geschicktes verändern des zählers so umformen, dass du eine teleskopreihe erhältst.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Zähler anstelle von "n" den Ausdruck "n+1-n" schreiben und dann auseinander ziehen?

Dann erhalte ich: , richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist richtig.
dass diese reihe konvergiert ist leicht zu zeigen, da man die partialsummen direkt berechnen kann.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

*grübel* ...

das ist doch bei einer Reihe c_n einfach , oder?

Edit: Also 1 - 1/(n+1). Okay, das haut hin. Danke
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
ja das ist richtig.


Das ist NICHT richtig.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich muss nochmal eure Nerven strapazieren. Augenzwinkern

Da nun alle Folgen konvergent waren und nur noch die letzte übrig geblieben ist, vermute ich einfach mal, dass die nicht konvergent ist (wenn wir prüfen sollen, ob sie konvergent sind, ist ja meistens eine dabei, die es eben nicht ist). Tolle Logik, hm? Big Laugh Also:



Das Ding sieht auch sowieso nicht wirklixh konvergent aus. Nur, wie zeige ich das nun am besten? Das muss ich ja sicher wieder über eines der Kriterien direkt zeigen. Kann man das mit einem Widerspruchsbeweis machen, also zunächst einmal annehmen, dass das Ding doch konvergiert?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

auf den ersten blick sieht es vielleicht so aus, aber Mulder hat sinnvollerweise (ob absichtlich oder nicht, weiß ich nicht Big Laugh ) eine indexverschiebung gemacht Augenzwinkern

ist also richtig.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmoaber Mulder hat sinnvollerweise (ob absichtlich oder nicht, weiß ich nicht Big Laugh )


Echt? Das geschah wenn überhaupt ohne Absicht. Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

also die letzte reihe, die du angegeben hast, divergiert, wie du schon vermutet hast.

eine divergente minorante kannst du so finden:
für gilt:
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmoeine divergente minorante kannst du so finden:
für gilt:


Ich fome das also einfach weiter um, bis daraus eine aussagekräftige Aussage wird und schon bin ich fertig?
Aber wo kommen denn die -4 her? Das ist ja sicher keine Willkür... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nein das ist keine willkür.

sieht doch stark nach der 3ten binomischen formel aus Augenzwinkern
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Also im Zähler anstelle von "n" den Ausdruck "n+1-n" schreiben und dann auseinander ziehen?

Dann erhalte ich: , richtig?


Was ist los? Wollt ihr das so lassen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »



wo liegt denn dein problem?

dass man bei n=2 anfängt, sollte selbstverständlich sein, da man sonst durch 0 teilt.
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist der Grenzwert also 1?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ja.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... ich muss nochmal was fragen. Angenommen man hat eine absolut konvergente Reihe a_n und eine beschränkte Folge b_n.

Das heißt doch nicht, dass auch absolut konvergent ist, oder? Oder ist es das wegen dem Leibnizkriterium doch?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

doch das ist so wegen



mit
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Also
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Teddy
Also


Vielleicht verstehst du da was falsch. Es wurde einfach das Majorantenkriterium angewandt. Die MAjorante war konvergent, also ist es auch diese Reihe. Wo ist das Problem ? keiner hat behauptet, dass der Grenzwert der Reihen 1/n² gegen 1 konvergiert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben in diesem thread gezeigt:



da sehe ich keinen widerspruch Augenzwinkern

PS: wir sollten diese diskussion nach hinten verlegen. erstmal sollte dem threadersteller alles klar sein. wie siehts diesbezüglich aus Mulder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmoPS: wir sollten diese diskussion nach hinten verlegen. erstmal sollte dem threadersteller alles klar sein. wie siehts diesbezüglich aus Mulder?


Ähm... mich verwirrt das gerade alles etwas. In diesem Thread hier Abs. Konvergenz

hatte jemand eine Aufgabe gestellt (die muss ich zufällig auch bearbeiten). Und zudem diese Annahme, die ich gerade gepostet habe. Es ist aber anzunehmen, dass eine der beiden Annahmen (aus diesem oder dem anderen Thread) falsch ist. Ich dachte, die aus dem anderen sei richtig, zumindest kam das bei meinen Rechnungen so raus, wenn ich mich nicht (wie üblich) vertan habe.

Aber jetzt sagst du ja, dass diese hier stimmt. Und das macht eigentlich auch Sinn.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Es ist aber anzunehmen, dass eine der beiden Annahmen (aus diesem oder dem anderen Thread) falsch ist.

Wieso das denn? verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

Das vermute ich nur. Auf unserem Aufgabenzettel stehen diese beiden Annahmen. Und wir sollen prüfen welche stimmt. Genauer Wortlaut: "Beweisen oder widerlegen sie".

Ich glaube halt nicht, dass die zu Beginn des Studiums so gemein sind, uns da zwei richtige Annehmen hinzuknallen und dann darunter zu schreiben, wir sollen "beweisen oder widerlegen".
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Aussagen sind wahr, ob du es glaubst oder nicht.
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hxh
Zitat:
Original von Teddy
Also


Vielleicht verstehst du da was falsch. Es wurde einfach das Majorantenkriterium angewandt. Die MAjorante war konvergent, also ist es auch diese Reihe. Wo ist das Problem ? keiner hat behauptet, dass der Grenzwert der Reihen 1/n² gegen 1 konvergiert.


Wie kann es eine Majorante sein, wenn ihr Grenzwert kleiner ist?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Beide Aussagen sind wahr, ob du es glaubst oder nicht.


Wie gesagt, so kam das ja auch bei meinen Rechnungen hin. Mich überraschte das nur, dass da so eine "Falle" eingebaut wurde, weil das bisher noch nie so gemacht wurde. Aber wenn sich hier alle kollektiv da einig sind, will ich das auch gar nicht anzweifeln.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Die Falle hast du selbst gelegt.
Teddy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
wir haben in diesem thread gezeigt:



da sehe ich keinen widerspruch Augenzwinkern

PS: wir sollten diese diskussion nach hinten verlegen. erstmal sollte dem threadersteller alles klar sein. wie siehts diesbezüglich aus Mulder?


Jetzt bin ich zufrieden. Ich kann auch sagen: ich muss von pi²/6 1 abziehen, da n bei 2 beginnt.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »