Gleichung umstellen

06.12.2007, 18:45

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung umstellen

Hallo zusammen,

ich möchte gerne diese Gleichung aus dem Bereich quadrat. Funktionen ausrechnen.
Die Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} (x-a+b)*(x-b+c)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-bx+cx-ax+ab-ac+bx-b^2+bc=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+cx-ax+ab-ac-b^2+bc=0 \end{eqnarray*}$

soweit komm ich noch, wie mache ich jetzt aber weiter?
Normal bringe ich in solchen Fällen alle x auf eine Seite, klammere aus, usw., durch das x^2 bringt mir das aber hier nicht viel...

Gruss, tt

06.12.2007, 19:16

KILLA

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso bringt das denn nichts?

es ist doch(bsp.) : $\begin{eqnarray*} x^2+x=0 <=> x(x+1)=0 \end{eqnarray*}$

bring alle terme mit x auf eine seite ( steht schon so ) und den rest auf die rechte

06.12.2007, 19:20

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen
Das Beispiel passt wohl nicht so ganz, oder?

Wenn deine "Ausrechnung" stimmt, dann sortiere nach x², x, "ohne x". Dann hast Du etwas in der klassischen Form:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Da gibt's ja nun Lösungsformeln.

06.12.2007, 19:24

KILLA

Auf diesen Beitrag antworten »

er weiß ja was zu tun ist , er weiß ja nur nicht was er mit dem x^2 machen muss

06.12.2007, 19:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Und was bringt ihm da dein Beispiel? Erstaunt2

Erstaunt2

06.12.2007, 19:29

KILLA

Auf diesen Beitrag antworten »

xD
dann weiß er was er mit dem x^2 machen soll
soll ich dia das mal machen ^^ ?

Anzeige

06.12.2007, 19:41

ethused-Earthling

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KILLA
es ist doch(bsp.) : $\begin{eqnarray*} x^2+x=0 <=> x(x+1)=0 \end{eqnarray*}$

bring alle terme mit x auf eine seite ( steht schon so ) und den rest auf die rechte

In der vorliegenden Aufgabe liegt doch eine quadratische Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$ vor, und nicht $\begin{eqnarray*} x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$ (, wo es letzendlich auch geschickt wäre, auszuklammern)

Außerdem wird beim Überbringen von q, die Gleichung nicht mehr gleich null, d.h. $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \Leftrightarrow x^2 + px = - q \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \Leftrightarrow x^2 + px = 0, q \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist meine Überlegung.

10.12.2007, 11:54

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung umstellen
Ok. ich versuche es mal...

wir hatten:

$\begin{eqnarray*} x^2+cx-ax+ab-ac+bc-b^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x*(c-a)+ab-ac+bc-b^2=0 \end{eqnarray*}$

nun gilt also

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$

oder mit der pq-Formel analog

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} p=(c-a) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} q=ab-ac+bc-b^2 \end{eqnarray*}$

einsetzen in

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2} )^{2}-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{(c-a)}{2} )^{2}-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit ok?

Gruss, tt

10.12.2007, 13:03

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt das offene Wort, aber das ganze kommt mir vor wie der Versuch, eine Hose mit der Kneifzange anzuziehen: Warum denn nicht gleich an der bereits faktorisierten Originalgleichung

$\begin{eqnarray*} (x-a+b)(x-b+c)=0 \end{eqnarray*}$

die beiden Lösungen ablesen, also $\begin{eqnarray*} x_1=a-b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=b-c \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2007, 13:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo du Recht hast, hast Du Recht. Habe wohl blind nur auf das "umgerechnete" geschaut. Sorry Tim Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2007, 13:29

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
gut zu wissen das es auch so einfach geht. Aber wie lese ich das nun einfach ab?

@tigerbine
ist meine rechnung richtig? wenn ich schon so vorgehe, will ich auch versuchen damit die richtigen Lösungen zu erhelten. Üben wird mir nicht schaden.

Gruss, tt

10.12.2007, 13:37

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tim taler
Aber wie lese ich das nun einfach ab?

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Eine der wichtigsten Eigenschaften beim Gleichungslösen im Reellen (oder Komplexen).

10.12.2007, 13:40

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dann kann ich das nachweisen.
Will aber auch die "Kneifzangenvariante" zum Ende bringen, da müsste ich doch das Gleiche erhalten, falls die pq-Gleichung stimmt. Oder?

10.12.2007, 13:42

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, dazu musst du aber den Term unter der Wurzel vereinfachen - besser gesagt: Das vollständige Quadrat darin erkennen.

10.12.2007, 14:24

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: siehe nächsten Beitrag

10.12.2007, 14:25

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

nun gut, ich versuche es mal.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{c-a}{2})^{2}-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{c}{2}- \frac{a}{2} )^{2}-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

2. bin. Formel

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{((\frac{c}{2})^2- 2*\frac{c}{2}*\frac{a}{2} +(\frac{a}{2})^{2})-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{((\frac{c^2}{4})- \frac{c*a}{2} +(\frac{a^2}{4}))-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

Klammer eliminieren

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{c^2}{4})- \frac{c*a}{2} +(\frac{a^2}{4})-ab+ac-bc+b^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Soll ich nun das Quadrat nehmen um die Wurzel zu eliminieren?

10.12.2007, 14:50

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eigentlich das für den Term unter der Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{c-a}{2} \right)^2-(ab-ac+bc-b^2) &=& \frac{c^2}{4} - \frac{ca}{2} + \frac{a^2}{4} - ab + ac - bc + b^2\\ &=& \frac{a^2}{4} + \frac{c^2}{4} + b^2 + \frac{ac}{2} - ab - cb = \left( \frac{a}{2} + \frac{c}{2} - b \right)^2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ich halte das hier nicht für sehr sinnvoll und unterstütze das jetzt nur, damit du siehst, dass hier dasselbe rauskommt.

10.12.2007, 15:04

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

nun wird es wirklich kompliziert...
den letzten Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Und ich weiß nicht wie ich mit der Klammer rechnen soll. Hmm?

10.12.2007, 15:18

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies den letzten Schritt rückwärts, d.h., multipliziere das Quadrat aus. Wenn du dich nicht verrechnest, wirst du feststellen, dass es stimmt...

10.12.2007, 17:27

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

hab nun eine Zeit probiert aber komme nicht drauf. Zeig mir bitte mal wie man die Klammer quadriert.

ansonsten geht es dann wohl so weiter

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{a}{2} +\frac{c}{2}-b)^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{(c-a)}{2} \pm (\frac{a}{2} +\frac{c}{2}-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}={ \frac{c}{2}-\frac{a}{2} } \pm (\frac{a}{2} +\frac{c}{2}-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}={ \frac{c}{2}-\frac{a}{2} } + \frac{a}{2} +\frac{c}{2}-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}={ \frac{c}{2}-\frac{a}{2} } - \frac{a}{2} -\frac{c}{2}+b \end{eqnarray*}$

damit habe ich für x1=c-b
und für x2=-a+b

Da stimmt aber noch etwas mit den Vorzeichen nicht, oder?

10.12.2007, 17:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der Wegstrecke von hier:

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{(c-a)}{2} \pm \sqrt{(\frac{(c-a)}{2} )^{2}-(ab-ac+bc-b^2)} \end{eqnarray*}$

ist dir ein Vorzeichen verlorengegangen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

10.12.2007, 18:13

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar dann wäre es soweit geschafft.
Kannst Du mir aber bitte nochmal zeigen wie Du bei der Klammer vorgegangen bist? Ich kann das nichtmal ausmultiplizieren, da ich sowas wie (x+y-z)^2 nicht einordnen kann...

10.12.2007, 19:59

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nie was von Distributivgesetz und/oder binomischer Formel gehört? Kann nicht wahr sein, streng dich mal an!

11.12.2007, 13:51

tim taler

Auf diesen Beitrag antworten »

gut das Du mich zum Nachdenken angeregt hast, denn es war nun wirklich kein Hexenwerk. Stand wohl mit beiden Füßen auf der Leitung...

$\begin{eqnarray*} (x+y-z)^2 \Rightarrow x^2+2xy-2xz+y^2-2yz+z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{2} +\frac{c}{2} -b)^2\Rightarrow \frac{a^2}{4}+ \frac{a*c}{2}-ab+ \frac{c^2}{4}-bc+b^2 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank Arthur Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »