Operatornorm berechnen.

06.12.2007, 20:06

Sunwater

Operatornorm berechnen.

Hi...

ich habe folgende Aufgabe:

Für reelle Zahlen a,b mit b>a sei der folgende Operator definiert:

$\begin{eqnarray*} M_f : L_2(a,b) \ni \phi \mapsto f \cdot \phi \in L_2(a,b) \end{eqnarray*}$

wobei f(x) = x ist.

Ich soll die Norm bestimmen. Diese Norm ist doch wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \parallel M_f \parallel = sup \{ \left( \int_a^b |f(x) \cdot \phi(x)|^2 dx\right)^{\frac{1}{2}} ~|~ \int_a^b |\phi(x)|^2 dx = 1\} = sup \{ \left( \int_a^b x^2 \cdot |\phi(x)|^2 dx\right)^{\frac{1}{2}} ~|~ \int_a^b |\phi(x)|^2 dx = 1\} \end{eqnarray*}$

meine Idee wäre irgendwie, wenn ich $\begin{eqnarray*} |\phi(x)|^2 \end{eqnarray*}$ als Dichte über (a,b) ansehe, dann wäre doch der Wert des Integrals umso größer, je mehr "Masse" in der Nähe von $\begin{eqnarray*} \operatorname{max}\{|a|,|b|\} \end{eqnarray*}$ ist.

aber damit kann ich noch längst nicht den Wert des Integrals ausrechnen...

hilfe Augenzwinkern

07.12.2007, 00:17

WebFritzi

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RE: Operatornorm berechnen.

Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} \operatorname{max}\{|a|,|b|\} \end{eqnarray*}$

Das ist deine Operatornorm. Ich weiss das aus Spektralbetrachtungen von Selbstadjungierten Operatoren. Um dies in diesem Fall zu zeigen, musst du - denke ich - Funktionen einsetzen, die in der Naehe des betragsgroesseren von a und b gross werden. An deiner Stelle wuerde ich erstmal a = 0 und b = 1 waehlen, um das ganze etwas konkreter zu haben. Verallgemeinern kann man danach immernoch.

07.12.2007, 08:57

Sunwater

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das das Maximum von |a| und |b| rauskommt hab ich mir auch schon gedacht... - ich werd das erstmal an dem Beispiel versuchen - vielleicht klappt's ja...
danke

07.12.2007, 21:34

WebFritzi

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Wie man leicht sieht, ist dieser Operator selbstadjungiert. Also ist

$\begin{eqnarray*} \|M_f\| = \sup\left\{ |\langle M_f\phi,\phi\rangle_{L^2}| : \|\phi\|_{L^2}=1\right\}. \end{eqnarray*}$

Im Falle a = 0 und b = 1 verwende mal die Funktionen

$\begin{eqnarray*} \phi_n(x) := \begin{cases}0 & \text{fuer } 0\le x \le \alpha_n\\ n & \text{fuer } \alpha_n\le x \le 1\end{cases} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha_n := 1-\frac{1}{n^2}. \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 11:59

Sunwater

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im Fall a=0, b=1 hab ich's mittlerweile hinbekommen mit der Funktion:

$\begin{eqnarray*} \phi_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$

da bekommt man dann wirklich im Grenzübergang n gegen unendlich 1 als Wert raus.

Leider hab konnte ich die Idee noch nicht auf beliebige a und b erweitern...

08.12.2007, 13:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sunwater
im Fall a=0, b=1 hab ich's mittlerweile hinbekommen mit der Funktion:

$\begin{eqnarray*} \phi_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$

da bekommt man dann wirklich im Grenzübergang n gegen unendlich 1 als Wert raus.

Ich weiß ja nicht, wie du rechnest, aber ich habe für $\begin{eqnarray*} \phi_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$ raus:

$\begin{eqnarray*} \|\phi_n\|_{L^2} = \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|M_f\phi_n\|_{L^2} = \frac{1}{\sqrt{2n+3}}. \end{eqnarray*}$

Sprich: mit diesen Funktionen bekommt man gar nichts raus.

Wie wäre es, wenn du zur Abwechslung meine Tipps befolgst (siehe mein letzter Beitrag). Wozu schreibe ich den Kram überhaupt...?

09.12.2007, 12:29

Sunwater

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sorry - ich hab auch $\begin{eqnarray*} \phi_n(x) = (n+1)x^n \end{eqnarray*}$ genommen.

dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \parallel M_f \parallel = \left( \int_0^1 x^2 (n+1)x^n \right)^{\frac{1}{2}}= \left( (n+1)* \left[ \frac{x^{n+3}}{n+3}\right]_0^1 \right)^{\frac{1}{2}}= \left( \frac{n+1}{n+3} \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und das geht doch gegen eins...

ich werd's mit deiner funktion nochmal durchrechnen - vielleicht kann man die ja besser verallgemeinern...

09.12.2007, 16:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sunwater
sorry - ich hab auch $\begin{eqnarray*} \phi_n(x) = (n+1)x^n \end{eqnarray*}$ genommen.

dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \parallel M_f \parallel = \left( \int_0^1 x^2 (n+1)x^n \right)^{\frac{1}{2}}= \left( (n+1)* \left[ \frac{x^{n+3}}{n+3}\right]_0^1 \right)^{\frac{1}{2}}= \left( \frac{n+1}{n+3} \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und das geht doch gegen eins...

OK, alles richtig, außer, dass es natürlich $\begin{eqnarray*} \parallel M_f \phi_n\parallel \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \parallel M_f \parallel \end{eqnarray*}$ heißen muss.

Zitat:

Original von Sunwater
ich werd's mit deiner funktion nochmal durchrechnen - vielleicht kann man die ja besser verallgemeinern...

Ja, ich denke, die lässt sich besser verallgemeinern (hab's schon durchgerechnet), da x^n auf [0,1] ja recht speziell ist.

09.12.2007, 20:35

Sunwater

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ok - dann werd ich das mal versuchen - danke erstmal soweit!

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