Lineare Unabhängigkeit

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Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit
Ich habe eine Aufgabe wobei ich mir noch ziemlich unsicher bin ob ich richtig angefangen habe...kann mir da jemand helfen bitte???


Die Aufgabe lautet: Sei M die Menge der Matrizen , =, =, =,= . Zeigen Sie, dass M linear abhängig ist. Sei die Menge, die aus M entsteht, wenn man die Matrix weglässt. Ist immer noch linear abhängig?


So damit ich überprüfen kann dass M linear abhängig ist weiss ich dass die Menge M linear abhängig ist, falls einer der Matrizen eine Linearkombination der anderen ist....stimmt oder..kann ich dann für eine der Matrizen Ai eine Linearkombination der anderen schreiben und für die skalare einfache zahlen setzen????
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du musst die entsprechenden skalare natürlich berechnen, oder zumindest zeigen, dass sie existieren.

da gibt es hier einen recht einfachen satz über lineare abhängigkeit von 5 vektoren in einem 4-dimensionalen vektorraum, aber den darfst du sich noch nicht verwenden.


also gehen wir das ganz anders an:
du hast hier den vektorraum über den reellen 2x2-matrizen, vektoraddition und skalare multiplikation sind komponentenweise definiert.
kannst du mir zunächst mal sagen, wie der nullvektor deines vektorraums aussieht?

danach sehen wir weiter!

mfg jochen
 
 
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »



das ist die nullmatrixr..nullvektor..aber wofür brauchen wir das??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, das ist schon mal gut, dass du das weißt!
ich sage dir jetzt die korrekte definition der lienaren (un)abhängigkeit.
mit "einen vektor aus den anderen linearkombineiren können", kommst du nämlich nicht immer weit: {nullvektor} <- diese menge ist linear abhängig.

<- diese menge soll überprüft werden.

setze eine linearkombination des nullvektors aus den v1 bis vn an.
die ai sind dabei skalare.

jetzt gilt: ist obige gleichung nur für a1=a2=...=an=0 trivial lösbar, so ist die vektormenge M linear unabhängig.

gibt es eine nichttriviale lösung, so ist die menge linear abhängig.

soweit klar?



edit: latex korrigiert
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ja das habe auch gemacht habe eine linear kombination gemacht...uch weiss auch wenn es eine nicht triviale lösüng also ungleich null dann linear abhängig nur was mich dabei so irritiert sind die matrizen 2x2!wie kann ich die berechnen in der linearkombination..verstehst du was ich dir sagen will?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

komponentenweise skalarmultiplikation:


addition sollte klar sein.

du kannst einen kleinen trick anwenden, denn die komponenten interagieren ja nicht untereinander...
stell dir also diese 2x2 matrizen wie einen 4x1-vektor vor...

stelle also wie gewohnt dein LGS auf und zwar für jede der 4 komponenten.

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ist diese matrix dann gleich dieser vektor: (1030)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sie ist nicht gleich, aber die entsprechenden vektorräume dazu sind äquivalent (man sagt dann auch isomorph ("von gleicher gestalt") dazu).
du kannst die reihenfolge auch beliebig anders wählen, aber musst dies natürlich bei jedem vektor gleich machen!

aber das dient ja auch nur der vorstellung!
versuche doch mal das LGS für die erste komponente aufzustellen (der linke obere matrizeneintrag)
dnach machst du dies für die anderen 3 komponenten.

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich mir die skalare ausdenken??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wie groß ist die chance, dass du dir passende skalare ausdenkst?
(edit: oder meintest du mit deiner frage nur die namen?)

nenne sie zunächst v,w,x,y,z (oder x1,x2,x3,x4,x5)

dann setzt sich dein LGS zusammen aus:

vA1+wA2+xA3+yA4+zA5=0
4 gleichungen, 5 unbekannte

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

v*(1000)???

1) ist das richtig?
2) ´wenn ja kann man dies auch v* so schreiben??? bevor ich losgehe muss ich das auch wissen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wie gesagt, die beiden vektorräume der reellen 2x2matrizen und der reellen 4x1matrizen sind isomorph (fremdwort must du nicht kennen)

deswegen sind sie trotzdem nicht gleich!
aber du kannst sie so auffassen, denn für deine rechung ist das völlig egal!

dabei musst du beim "umwandeln" nur daran denken, immer die gleiche reihenfolge zu wählen.
aber das umdenken musst du hier gar nicht!

mache einfach deine 4 gleichungen aus der matrizenform, damit du gleich lernst, auch damit umzugehen.

ich fang mal an:
"komponente oben links": 1*v+1*w+1*x+2*y+0*z=0
"komponente oben rechts": ....
"komponente unten links" : ....
"komponente...." :

jetzt du!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

2 gleichung: 0*v+1*w+1*x+1*y+0*z=0....u.s.w...und dann???

aber ich muss doch eigentlich zeigen dass M linear abhängig ist?wozu denn das
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du stellst hier doch gerade das LGS zu vA1+wA2+xA3+yA4+zA5=NULLMATRIX auf...
danach musst du zeigen, dass dieses LGS eine nichttriviale lösung hat!

dann sind die vektoren nämlich linear abhängig!

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich weiss doch garnicht was diese skalare für zahlen sind oder braucht man das nicht

muss da z.B eine matrix aufstellen nach führenden einsen auflösen etc?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die skalare sind aus deinem grundkörper IR.
das sind also reelle zahlen mit denen du deine matrizen-vektoren multiplizierst.

das ist wie bei jedem anderen vektorraum.
du suchst für deine linearkombination skalare aus IR.

lass dich nicht von der vektorart verwirren....

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

was mache ich nun habe alle vier gleichungen mit 5 unbekannten...???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was du tun musst, um zu zeigen, dass das linear (un)abhängig ist, hatten wir doch oben!

du schaust, ob das nur trivial lösbar ist v=w=x=y=z=0, dann wären die 5 matrizenvektoren linear unabhängig.
oder du zeigst: es existiert eine nichttriviale lösung, dann wären sie linear abhängig.

mfg jochen


ps: später wirst du mal lernen, dass das linear abhängig sein muss!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ja damit ich es löse muss ich ja diese unbekannten rauskriegen oder??und dies geht ja nur mit LGS auflösen ??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

prinzipiell reicht es, wenn du zeigen kannst, dass das LGS nichttrivial lösbar ist, die eigentliche nichttriviale lösung interessiert niemandem.
um das zu zeigen musst du das LGS aber wohl oder übel umformen....

das ist aber gar nicht so aufwändig, da sind ja schon einige nuller drinnen!
mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

umgeformt ob ich das hier habe..guck mal am besten ??

v+w+x+2y=0
w+x+y=0
x+7y=0
5z=0

und jetzt??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die gleichungen sind alle richtig!
aus der vierten gleichung erkennst du sofort: z=0

verbleibt ein LGS mit 4 unbekannten und 3 gleichungen...
vereinfache dieses und stelle den einparametrigen lösungsraum auf, oder vereinfache es soweit, bis du eine nichttriviale lösung erraten kannst.
denn bedenke: sobald du eine einzige nichttriviale lösung gefunden hast, bist du fertig!

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

bin dabei schreibe es dir sofort auf


habe versucht z=0 habe ich raus ist ja klar aber gib mir bitte einen kleinen tip wie ich diese gleichungen auflöse voneinander abziehen etwa?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht solltest du dich auch erst mal auf eine deiner aufgaben konzentrieren!
kommst du nicht durcheinander, wenn du die beiden aufgaben (diese und die aus dem anderen thread mit dem dreiecksmatrizen) parallel bearbeitest!?

mfg jochen


edit: zum lösen des LGS
sagt dir gaussalgorithmus etwas?


edit: das ist hier fast noch einfacher
setze y=t und löse danach v,w,x in abhängigkeit von t, da hast du schon treppenform, das geht schnell

lösungsmenge ist dann einparametrig, finde eine nichttriviale lösung
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

aber klar doch...(dann lass uns dass mit Unterraum morgen machen bitte)..damit ich diese aufgabe zu ende machesmile

also klar kenne ich gausalgorithmus...ich versuchsmal..also nach führenden eisnen auflösen ne...nach dem man eine zeilenumformung bekommen hat..also zeilenstufenform meinte ich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
edit: das ist hier fast noch einfacher
setze y=t und löse danach v,w,x in abhängigkeit von t, da hast du schon treppenform, das geht schnell

lösungsmenge ist dann einparametrig, finde eine nichttriviale lösung


wenn du das machst, dann hast du schon zeilenstufenform smile
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du dann also:

v+w+x+2t=0
w+x+t=0
x+7t=0...und nun??

etwa

v=-w-z-2t
w=-x-t???
.
.
.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
v+w+x+2t=0
w+x+t=0
x+7t=0

und y=t

ja, genau so meine ich das....
das kannst du jetzt (aber korrekt, das was du machst ist wurst!) nach den einzelnen skalaren auflösen!
also x=-7t
das dann in w+x+t=0 einsetzen..... w=... errechnen und sofort.

auf diese weise bekommst du den ganzen lösungsraum.




alternativ kannst du sogar gleich y=1 setzen, denn es reicht dir ja eine einzige nichttriviale lösung!




noch viel frecher (und sehr klever, wenn du es verstehst!) wäre: y=1 setzen, das entstehende LGS nach v,w,x ist lösbar (zeilenstufenform), also gibt es eine nichttriviale lösung! aus!
die lösung selbst berechnest du gar nicht, dir reicht das es eine gibt!



welcher weg dir am besten gefällt, deine sache!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

jochen wir sind ja schon soweit gekommen..kannst du mir mal die lösung schreiben...nur so komme ich jetzt weiter..abe ich verstehe es was du meinst..ich muss es nur nachvollziehen


habe alle werte raus...soll ich es dir sagen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

na komm, du hast es schon so weit geschafft, ohne dass ich dir viel vorsagen musste, jetzt schaffst du den rest auch noch!
willst es nicht noch mal versuchen?

wir suchen nur eine einzige nichttriviale lösung von
v+w+x+2y=0
w+x+y=0
x+7y=0
3 gleichungen, 4 unbekannte, wir setzen nun sogar noch einfacher einfach y=1 ein

dann bekommen wir das neue LGS nach v,w,x:
v+w+x=-2
0+w+x=-1
0+0+x=-7

das ist schon stufenform! du musst nur noch auflösen!
komm du schaffst das!

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

nach dem ich alles eingesetzt habe bekomme ich doch für w=6, x=-7, v=-1, y=1, und wir hatten ja für z=0 raus..also hat das LGS eine Lösüng somit linear abhänguig nicht wahr?


wie schreibe ich das ganze als lösüngsmenge?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

deine lösung ist korrekt!

aber vorsicht mit der ausdrucksweise:
Zitat:
also hat das LGS eine Lösüng

eine lösüng hat das lgs immer! nämlich die triviale!
es hat aber eben auch eine nichttriviale in diesem fall (davon sogar unendlich viele! aber die anderen interessieren uns nicht die bohne!).
deswegen (wegen der nichttrivialen lösung!) ist die vektormenge linear abhängig!


Zitat:
wie schreibe ich das ganze als lösüngsmenge?

u <-> ü Augenzwinkern
du schreibst gar keine lösungsmenge für das LGS auf, dafür hättest du y=t setzen müssen und blabla.
das brauchst du hier nicht.

argumentiere mit deiner gefundenen lösung:
"die vektormenge {A1,A2,A3,A4,A5} ist linear abhängig, da -1*A1+6*A2-7*A3+1*A4+0*A5=NULLVEKTOR ist.
der nullvektor lässt sich also nichttrivial linearkombinieren."

mfg jochen <-- der jetzt auch bald mal schlafen geht
also warte ich noch auf dein okay, dann ruft die heia
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

das ist aber so lieb von dir dass du auf mich wartestsmile ))danke für deine hilfe du bist seit tagen meine rettung...schlaf schön..bis morgen...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du aus der ganzen sache was mitnimmst (sprich: was lernst und verstehst), dann hat sich das ganze ja auch gelohnt!

werde morgen (heute!) eher nicht soviel zeit haben, da noch eine geburtstagsfeier ansteht, aber nachmittags ist sicher ein wenig zeit!
dann können wir uns auch noch um die matrizen kümmern!

aber wenn du mal verstanden hast, wie die aussehen ist die aufgabe seeeehr leicht!

also gute nacht auch dir, ist ja schon wieder mächtig spät geworden!

mfg jochen Schläfer
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