Summen von Reihen

07.12.2007, 13:17

Luci

Summen von Reihen

Hallo wir sollen die Summe der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4*k^2-1} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich dachte, dass ich sie vielleicht zu einer Reihe umformen könnte, zu der ich eine direkte Lösung kenne.
Aber all meine Ideen funktionieren leider nicht.
Ich hatte an folgendes Gedacht:

- $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k =\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~{\frac{1}{k(k+1)}} = \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$

aber das funktioniert alles nicht.
Gibt es vielleicht einen allgemeinen Weg, mit dem man die Summe einer Reihe berechnen kann? Abgesehen von stumpfem eintippen in den Taschenrechner, was bei unendlichen Reihen auch eh nicht funktioniert. ?
Wäre über eine Idee, einen Tipp oder eine Erklärung dankbar
Gruß Luci

07.12.2007, 13:20

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Wenn du es schon erwähnst - hast du dir mal angeschaut, wie man hier

Zitat:

Original von Luci
- $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~{\frac{1}{k(k+1)}} = \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$

draufkommt? Ganz ähnlich läuft es hier - Stichwort: Teleskopsumme

EDIT: Mir fällt grad noch auf - rechts sollte selbstverständlich $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ stehen!

07.12.2007, 13:20

vektorraum

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RE: Summen von Reihen
Spalte $\begin{eqnarray*} 4k^2-1 \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren auf und führe Partialbruchzerlegung durch...

Tipp: Teleskopreihe.

07.12.2007, 13:22

hxh

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RE: Summen von Reihen
Edit an mich Forum Kloppe

genauer lesen.

07.12.2007, 14:13

klarsoweit

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RE: Summen von Reihen
@hxh: beides hilft nicht bei der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{4*k^2-1} \end{eqnarray*}$ .

Daher weiß ich nicht, was du mit deinem Beitrag sagen wolltest. verwirrt

07.12.2007, 17:12

hxh

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oh hab das falsch gelesen Hammer

wenns um diese geht ganz klar teleskoppsumme, muss man halt bissl umformen, aber dann geht das.

08.12.2007, 16:06

Luci

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Aber eine Teleskopsumme ist doch eine Summe, bei der sich praktisch alles wieder weghebt.. bei dieser hab ich das Gefühl es hebt sich gar nicht wieder weg. Außerdem geht meine Reihne von 1 bis unendlich.. dabei ist es noch unwahrscheinlicher, dass sich alles wieder weghebt, bzw. man weiß nie, was dann am ende überbleibt.

Denn da entsteht doch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~k = \frac{1}{4k^2-1} + \frac{1}{4*(k+1)^2-1}+ \frac{1}{4*(k+2)^2-1} +... \end{eqnarray*}$

Wie soll sich da was wegheben? Versteh ich nicht.

08.12.2007, 16:11

tmo

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es hebt sich alles auf bis auf 4 summanden.
zwei davon konvergieren gegen 0 und die anderen 2 sind dann eben zusammen dein grenzwert.

aber nun bringe das doch erstmal in die form einer teleskopsumme.

sprich entweder PBZ oder $\begin{eqnarray*} 1 = (2k+1) + (1-2k) - 1 \end{eqnarray*}$ für eine "indirekte" PBZ.

edit: die 3te binomische formel sollte man schon beherrschen Augenzwinkern

08.12.2007, 17:16

vektorraum

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RE: Summen von Reihen

Zitat:

Original von vektorraum
Spalte $\begin{eqnarray*} 4k^2-1 \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren auf und führe Partialbruchzerlegung durch...

Tipp: Teleskopreihe.

@Luci: Du solltest vielleicht mal genauer lesen. Wenn du die Partialbruchzerlegung durchführst, hast du eine "Teleskopreihe".

Es empfihlt sich aber bei dieser Reihe mal die Partialsummen zu betrachten um dann festzustellen, dass sich doch einiges weghebt. Und da ist es schon notwendig, dass du vorher PBZ machst.

Dann verallgemeinerst du die Partialsumme, in dem du den Grenzübergang vollziehst.

08.12.2007, 17:22

Luci

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okay.. ich hab jetzt als Patzialbruch heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1} \end{eqnarray*}$

daraus ergebt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*(2k-1} - \frac{1}{2*(2k+1)} \end{eqnarray*}$

wenn ich das nun kürze bleibt am anfang 1/2 stehen und am ende eine unendlich kleine Zahl..

Warum bleiben 4 Summanden über?

08.12.2007, 17:28

vektorraum

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Betrachte doch mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{2(2k-1)}-\cfrac{1}{2(2k+1)} \end{eqnarray*}$

als n-te Partialsumme. Teleskopsumme.

Dann Grenzübergang.

09.12.2007, 11:59

Luci

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Wenn ich für "k" Zahlen einsetze ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{2(2k-1)}- \frac{1}{2(2k+1)} = \frac{1}{2}- \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{10}+ \frac{1}{10} - .... \end{eqnarray*}$

.. ?

09.12.2007, 13:59

klarsoweit

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Jetzt sieht man zumindest mal, daß es eine Teleskopsumme ist. Das entscheidende ist jetzt allerdings das, was du mit ... weggelassen hast. Genau genommen ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{2(2k-1)}- \frac{1}{2(2k+1)} = \frac{1}{2}- \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{10}+ \frac{1}{10} - \frac{1}{14} + .... = \frac{1}{2}- \frac{1}{2(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Wenn man will, kann man letzteres leicht mit vollständiger Induktion zeigen.
In jedem Fall kann man nun den Grenzwert für n gegen unendlich bilden.

09.12.2007, 14:20

Luci

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ah ja okay smile

danke!

03.12.2011, 20:07

smartypant

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*aufroll* Eine Frage:
Die Linearfaktorzerlegung in (2k+1)(2k-1) habe ich noch erkannt, aber wie genau funktioniert das mit der Partialbruchzerlegung in diesem Fall?
Danke!

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