Residuum

07.12.2007, 15:40	Monstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum hi, für m,n >= 0 suche ich das Residuum $\begin{eqnarray} Res_{z=e^{\frac{i\pi}{n}}} \frac{z^m}{1+z^n} \end{eqnarray}$ ich habe es mit der formel $\begin{eqnarray} \lim_{z \to e^{\frac{i\pi}{n}}} (z-e^{\frac{i\pi}{n}})f(z) \end{eqnarray*}$ probiert aber da kommen nur hässliche Produkte raus. Kann man die irgendwie schön zusammenfassen? Oder gibt es irgend eine elegantere Art das Residuum berechnen? Grüße edit: m,n sind ganze Zahlen
07.12.2007, 16:55	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist schon richtig: Wenn deine Funktion f eine Polstelle 1. Ordnung in z_0 hat, dann ist $\begin{eqnarray} Res_{z_0}f(z)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) \end{eqnarray}$ In dem Spezialfall, daß man aber f schreiben kann als f=h/g mit g,h, holomorph und g hat eine einfache Nullstelle, kannst du diese Bedingung aber noch schöner schreiben. Ganz allgemein, ohne jetzt dein f einzusetzen. Versuch das mal, also $\begin{eqnarray} Res_{z_0}f(z)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)\frac{h(z)}{g(z)}=\ldots \end{eqnarray}$
07.12.2007, 17:21	Monstar	Auf diesen Beitrag antworten »
hm wäre das nicht genau das gleiche? ich überlege ob die Formel $\begin{eqnarray} Res_{z=a}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(a)}{g'(a)} \end{eqnarray}$ anwendbar ist?
07.12.2007, 17:52	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, darauf wollte ich hinaus. Die ergibt sich nämlich genau, wenn man bei den Pünktchen weiterrechnet. Wenn man mal davon absieht, daß f und g jetzt etwas anderes sind als in deinem ersten Posting.
07.12.2007, 17:57	Monstar	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, damit ergibt sich nämlich ne ansehnliche formel vielen dank

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