Grenzwert und Stetigkeit

07.12.2007, 16:03

oerny

Grenzwert und Stetigkeit

Hi,
ich habe mal wieder 2 aufgaben bei denen ich nciht so recht weiter weis:
1.
$\begin{eqnarray*} F(x) := \sum_{n=0}^\infty~{\frac{1}{(1+x^2)^n}} \end{eqnarray*}$
Berechne $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} x^2F(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} x^2F(x) \end{eqnarray*}$
2.
In welchen Punkten ist die Fkt $\begin{eqnarray*} f: x \rightarrow x-[x] \end{eqnarray*}$ stetig, wobei [] eine Gaußklammer ist

bei 1. habe ich das versucht:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{\frac{x^2}{(1+x^2)^n}} = x^2 + \frac{x^2}{x^2+1} + \sum_{n=2}^\infty~{\frac{1}{(1+x^2)^n}} \end{eqnarray*}$
was mcih aber irgendwie nicht weiterbringt, bzw ich würde sagen das ganze ist 0

bei 2. habe ich keine Ahnung wo ich anfangne soll

07.12.2007, 16:18

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Was hat es mit dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ für eine Bewandnis? Der Summenindex ist es nicht, und sonst ist da nix über ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ erklärt...

07.12.2007, 16:25

oerny

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das k war wohl ein tippfehler, sehr seltsam woher das genau kommt verwirrt

07.12.2007, 18:01

tmo

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den reihenwert kannst du doch leicht berechnen.

stichwort: geometrische reihe.

danach ist der grenzübergang nicht mehr schwer.

07.12.2007, 18:06

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(Gelöscht, war Unsinn.)

07.12.2007, 19:12

oerny

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also hätte ich dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^- } \sum_{n=0}^\infty~ x^2 \frac{1-\frac{1}{1+x^2}^{n+1}}{1-\frac{1}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$
oder?
irgendwie bring mich das aber nicht weiter

07.12.2007, 19:48

system-agent

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was machst du? du sollst den WERT der REIHE berechnen...
überlege zunächst für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ diese reihe konvergiert, dann wende die formel für die geometrische reihe an:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{q^k}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$
(diese formel gilt für $\begin{eqnarray*} -1<q<1 \end{eqnarray*}$ )

und dann hast du dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ in einer gescheiten form

07.12.2007, 20:09

oerny

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also ich hätte da das wurzelkriterium genommen, was mir dann liefert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(1+x^2)^n }}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+x^2} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da 1+x^2 immer > 1
stimmt das soweit?
die formel für die geometrische reihe darf ich immer anwenden da $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R | -1<\frac{1}{(1+x^2)^n} <1 \end{eqnarray*}$
dann hab ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+x^4}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1+x^2}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

stimmts soweit?

und wie mach ich jetzt den Grenzwert von rechts, bzw wie unterscheide ich diese? in diesem fall sind die ja wegen x^2 eh gleich oder?

07.12.2007, 20:15

system-agent

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Zitat:

Original von oerny
also ich hätte da das wurzelkriterium genommen, was mir dann liefert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(1+x^2)^n }}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+x^2} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da 1+x^2 immer > 1
stimmt das soweit?

was ist mit $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

naja, wenn quadrate dastehen machts wirklich keinen unterschied....

07.12.2007, 20:16

tmo

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was du hier mit dem wurzelkriterium willst, kann ich zwar nicht nachvollziehen, aber letztendlich stimmt das, außer dass $\begin{eqnarray*} x^2+1 > 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt.

das gilt nämlich für x = 0 nicht. genau deswegen ist der grenzwert für x gegen 0 ja interessant.

07.12.2007, 20:22

oerny

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misst die ausnahme hab ich übersehn Hammer

also ist das ganze konvergent für alle x aus R und x ungleich 0

wie soll ich ohne wurzelkriterium die konvergenz zeigen? für x=0 hab ich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~1^n \end{eqnarray*}$ was divergent sein muss.

und das mit dem links und rechtsseitigen grenzwert kann ich so machen das ich sage das der gleich sein muss?

irgendwie ist das garnicht so schwer wenn man den richigen ansatz findet...oder nen guten tip bekommt Wink

könntet ihr mir evtl. auch noch bei der 2. aufgabe helfen?

07.12.2007, 20:24

tmo

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das ist eine geometrische reihe und die konvergiert wenn der betrag der basis kleiner 1 ist, was hier der fall ist.

hier das wurzelkriterium zu benutzen, wäre nicht sinnvoll, da dies erst aus der konvergenz der geometrischen reihe folgt.

zur 2ten aufgabe: überall wo $\begin{eqnarray*} \lfloor x \rfloor \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist auch deine funktion stetig. die restlichen stellen musst du noch untersuchen.

07.12.2007, 20:25

system-agent

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naja, du nimmst eben nun, dass die reihe für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ konvergiert, also kannst du sie auch überall ausser an der null auswerten. und für die geschlossene form ausserhalb der null dient ja nun die geom. reihe und also dann kannst du die grenzwerte untersuchen

07.12.2007, 20:46

oerny

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nachdem ich das jetzt mal gezeichnet habe, ein andere ansatz will mir nicht einfallen, da ich auch nciht weiß wo genau [x] stetig ist bzw ie ich das zeigen kann, komm ich auf die lösung das für alle R\Z die Funktion stetig ist.

09.12.2007, 13:39

oerny

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kann mir keiner mit einem ansatz mal auf die sprünge helfen?!

09.12.2007, 13:44

system-agent

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stelle zuerst einmal fest, dass die funktion periodisch ist. dann untersuche zb mit dem folgenkriterium was $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ so bei den ganzen zahlen treibt

09.12.2007, 14:24

oerny

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jetzt versteh ich noch weniger! mit periodisch hab ich noch nie was gesehn, das einzige was mir zustetigkeit was sagt ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_k) = f(x_0) = f(\lim_{n \to \infty} f(x_k)) \end{eqnarray*}$

und die definition mit der epsilon und delta umgebung

und damit komm ich halt überhaupt nicht weiter

09.12.2007, 15:52

system-agent

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also gut, du hast $\begin{eqnarray*} g(x):=[x] \end{eqnarray*}$ nun ist für $\begin{eqnarray*} g:\,[0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ folgendes: $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ (überleg dir das... smile

)
demnach ist also $\begin{eqnarray*} f(x)=x-[x]=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[0,1) \end{eqnarray*}$

da du hier ein rechtsoffenes intervall hast, deshalb kann man sich den grenzwert dort überlegen....(und schlussendlich zeigen dass es dort nicht stetig ist). nun betrachte noch genauso wie oben $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[1,2) \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1,2) \end{eqnarray*}$ .
dann nimm eine folge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k\in[0,1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}x_k=1 \end{eqnarray*}$ und noch eine folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\in[1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=1 \end{eqnarray*}$ (also die eine folge nähert sich der 1 von unten und die andere folge nähert sich der 1 von oben)

nun untersuche eben $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}f(x_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n) \end{eqnarray*}$ und zeige dass sie ungleich sind.

wenn du gezeigt hast dass die funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ periodisch ist, das heisst bei allen ganzen zahlen dieses sprungverhalten aufweist, hast du deine vermutung bewiesen...

09.12.2007, 16:25

oerny

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Zitat:

Original von system-agent
nun untersuche eben $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}f(x_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n) \end{eqnarray*}$ und zeige dass sie ungleich sind.

muss ich da nicht zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to 1}f(x_k) \ne \lim_{n\to 1}f(a_n) \end{eqnarray*}$ ist, und ich da beide Grenzwerte existieren an der Stelle 1 ein sprung ist? -> an der Stelle 1 ist die Funktion unstätig.
jetzt muss ich das eben für alle ganzen zahlen prüfen also mit periodizität, wie auch immer ich das machen soll, oder versteh ich das falsch?

09.12.2007, 17:46

system-agent

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Zitat:

Original von oerny

Zitat:

muss ich da nicht zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to 1}f(x_k) \ne \lim_{n\to 1}f(a_n) \end{eqnarray*}$

mein "ungleich" hat genau dein " $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ " bedeutet smile

und ja, du musst zeigen dass die grenzwerte existieren und dann eben dass grenzwert links $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ grenzwert rechts.
dann tue das mal....

Zitat:

Original von oerny
jetzt muss ich das eben für alle ganzen zahlen prüfen also mit periodizität, wie auch immer ich das machen soll, oder versteh ich das falsch?

naja, wenn du gezeigt hast, dass es für die stelle 1 unstetig ist und dann, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eben periodisch ist, also auf jedem intervall $\begin{eqnarray*} [a,a+1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ das gleiche tut, dann hast du es überall gezeigt.

noch zur periodizität:
man nennt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ periodisch genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} T\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+T) \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im definitionsbereich, das heisst also dass wenn man an einer stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sitzt (zb einer ganzen zahl.... smile

) und man geht um $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nach links oder rechts, dann ist der wert der funktion dort genau gleich wie bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und nicht nur das: die funktion verhält sich dort auch genau gleich (vgl zb mit $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ , dort ist $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ )

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