Leider noch ein Grenzwertproblem

07.12.2007, 18:56

schmida

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Leider noch ein Grenzwertproblem

hallo,
leider habe ich noch ein Grenzwertproblem. Ich möchte euch zeigen wie ich es versucht habe zu lösen, bekomme aber leider das falsche Ergebnis.

Hier mein Lösungsweg:
Vorgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{5}+2x^{2}+1 } -1 \end{eqnarray*}$

umformung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x^5*(1+\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^5})^{\frac{1}{5}} -x \end{eqnarray*}$

nun weiter: da die Brüche gegen 0 konvertieren:
$\begin{eqnarray*} ( x^{5} )^{\frac{1}{5} } -x \end{eqnarray*}$

Somit erhalte ich -inf, leider aber falsch. Wo liegt mein Rechenfehler oder mein falscher Ansatz.

danke vielmals
arnold

07.12.2007, 19:01

WebFritzi

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Jetzt muss man dir aber wirklich mal sagen, dass das keine Algebra, sondern Analysis ist.

Edit (DS): *verschoben*

07.12.2007, 19:02

tigerbine

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RE: Leider noch ein Grenzwertproblem
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{5}+2x^{2}+1 } -1 =\lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{5}(1+2x^{-3}+x^{-5})} -1 \end{eqnarray*}$

verschoben

Edit(DS): War schneller! Teufel

Teufel

07.12.2007, 19:08

schmida

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sorry,
aber vielleicht kann mir ja auch jemand sagen, wo mein Fehler liegt oder warum dies der falsche Ansatz war.

danke

07.12.2007, 19:09

tigerbine

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Wo hast du denn das x am Ende her? Fehlen da klammern? verwirrt

verwirrt

07.12.2007, 19:14

schmida

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habe mich mal wieder vertippt:
am Ende der Vorgabe soll -x stehen und nicht -1.

ich habe es nicht so mit Latex! und dann scheitere ich immer wieder an solch einfachen Grenzwertberechnungen.

Wieso nicht -inf.

danke

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07.12.2007, 19:15

tigerbine

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Was soll den rauskommen. Und mecker nicht so über latex. Darin liegt der Tippfehler wohl kaum Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.12.2007, 19:19

schmida

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ok,
das Ergebnis sollte 0 sein!

07.12.2007, 19:22

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{5}+2x^{2}+1 } -x =\lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{5}(1+2x^{-3}+x^{-5})} -x = x \cdot \sqrt[5]{1+2x^{-3}+x^{-5}} -x \end{eqnarray*}$

Nun klarer?

07.12.2007, 19:29

schmida

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na, ja hatte es schon mal so ähnlich und habe es leider nicht gesehen! smile

smile

die wurzel wird zu 1 und schon steht x-x=0

vielen dank und schönen abend noch

arnold

für mich reichts heute mit grenzwertberechnung, bin schon fast beim verzweifeln

07.12.2007, 19:31

WebFritzi

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Ich finde nicht, dass das dadurch besonders klar wird, tigerbine. Ich habe alles moegliche (naja... MIR moegliche Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Elementare versucht, habe es aber nur mit dem Epsilon-Kriterium herausbekommen.

Zitat:

Original von schmida
die wurzel wird zu 1 und schon steht x-x=0

Nein, das ist so falsch. Dazu ein Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} x\left( 1 - \frac{1}{x}\right) - x. \end{eqnarray*}$

Das, was in der Klammer steht, geht auch gegen 1, also koennte man denken x - x = 0, aber es ist

$\begin{eqnarray*} x\left( 1 - \frac{1}{x}\right) - x = x - 1 - x = -1 \neq 0. \end{eqnarray*}$

07.12.2007, 19:39

tigerbine

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Also entweder bin ich gerade so naiv, aber es steht doch im Grunde da, mal mit korrekten Klammern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~\Bigl(f(x) \cdot g(x) - f(x) \Bigl) \end{eqnarray*}$

Dabei existerien die einzelnen Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~f(x) = + \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~g(x) = 1 \end{eqnarray*}$

nun 2 Grenzwertsätze und fertig.

07.12.2007, 19:41

WebFritzi

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Also, tigerbine... Unendlich ist doch kein Grenzwert. Wenn etwas gegen Unendlich strebt, sagt man auch, der Grenzwert existiere nicht.

07.12.2007, 19:43

tigerbine

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Beziehe mich hierdrauf...Grenzwertsätze (Wenn das da falsch ist muss ich doch das Ana Buch holen.. Lesen1

Lesen1

)

07.12.2007, 19:50

WebFritzi

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a und b sind dort (ohne, dass es gesagt wird) reelle Zahlen. Du siehst doch an meinem obigen Beispiel, dass deine Vorstellung nicht stimmt. Aehnlich ist es doch mit

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$

Da denkt man auch: das in der Klammer geht gegen 1, also geht alles gegen 1. Das ist natuerlich falsch, denn das Ding konvergiert gegen e.

07.12.2007, 20:23

tigerbine

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Ja, Du hast Recht, ich hatte das dort geschriebene "p", was sich auf den Laufindex bezieht, beim Überfliegen mit a,b verwechselt. Also müssen wir hier wirklich ran. Und ich war zu naiv. Also muss Kamerad Epsilon her.

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