nullstellen bestimmen

08.12.2007, 13:36

special-k

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nullstellen bestimmen

hi,

ich soll von diesem bruch die nullstellen bestimmen.

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{7,2x^4-4.8x^2-2.4}{(x^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

soweit komme ich ja noch:
$\begin{eqnarray*} x^8-1=7,2x^4-4.8x^2-2.4 \end{eqnarray*}$

wie gehts jetzt weiter? irgendwie muss ich ja die hohen potenzen weg bekommen.

08.12.2007, 13:40

Keto

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Hallo!
Du hast einen "kleinen Fehler"
den Bruch multiplizierst du auf die andere Seite...
$\begin{eqnarray*} 0 * (x^2-1)^4 = 7,2x^4 - 4.8x^2 -2.4 \end{eqnarray*}$

es bleibt:
$\begin{eqnarray*} 0 = 7,2x^4 - 4.8x^2 -2.4 \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 13:41

tigerbine

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Substitution
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{7.2x^4-4.8x^2-2.4}{(x^2-1)^4}, \quad D = \mathbb R \subset \{-1,1\} \end{eqnarray*}$

Da für die Nullstellen zunächst nur der Zähler interessiert

$\begin{eqnarray*} 0=7.2x^4-4.8x^2-2.4 \end{eqnarray*}$

Um eine Lösungsformel anwenden zu können, substituiert man $\begin{eqnarray*} u:=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=7.2u^2-4.8u-2.4 \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 14:12

special-k

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ok, das mit dem 0*(x²-1)^4 war mir nicht klar....wieder was gelernt.

Aber was nutz es mich, wenn ich aus dem x einfach ein u machen?

die formel bleibt doch die selbe?! und ehrlich ggesagt weis ich niht worauf du hinaus willst verwirrt

verwirrt

08.12.2007, 14:15

Ambrosius

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es wird aus dem x^2 ein u und somit aus x^4 ein u^2.

Für quadratische gleichungen gibt es lösungsformeln. daher erleichtert eine substitution die rechnung!

Wichtig: Hinterher wieder aus dem u ein x^2 machen

08.12.2007, 14:56

special-k

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Zitat:

Original von Ambrosius
es wird aus dem x^2 ein u und somit aus x^4 ein u^2.

Für quadratische gleichungen gibt es lösungsformeln. daher erleichtert eine substitution die rechnung!

Wichtig: Hinterher wieder aus dem u ein x^2 machen

ok, dann kann ich die pq formel anwenden.

und die nullstellen die ich raushaben quadriere ich dann wieder? oder muss ich schon das u in der pqformel quadrieren?

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08.12.2007, 15:00

Ambrosius

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du bekommst durch die pq-Formel lösungen u=....

Nun wieder zurücksubstituieren, also u=x^2. Das heißt du musst aus deinen Lösungen noch die Wuzeln ziehen.

Zur Kontrolle kannst du die lösungfen dann in die ausgangsgleichung einsetzen

08.12.2007, 15:06

special-k

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hm...warum den die wurzel ziehn. ich dachte quadrieren.

wenn
u=x²

z.b. u=2;
dann
2=2²=4

oder nicht?

08.12.2007, 15:08

Ambrosius

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} u = 2 \end{eqnarray*}$

Zurücksubstituieren:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 = 2 \, \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und nicht vergessen das mit beiden lösungen zu machen! Insgesamt solltest du also 4 lösungen erhalten

08.12.2007, 15:21

special-k

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RE: nullstellen bestimmen
ich mach was falsch....

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{7,2x^4-4.8x^2-2.4}{(x^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=7,2x^4-4.8x^2-2.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=7,2u^2-4.8u-2.4 \end{eqnarray*}$

x1 = $\begin{eqnarray*} -(\frac{-(\frac{2}{3})}{2}) + \sqrt{(\frac{-(\frac{2}{3})^2}{2}) + \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

x2 = x1 = $\begin{eqnarray*} -(\frac{-(\frac{2}{3})}{2}) - \sqrt{(\frac{-(\frac{2}{3})^2}{2}) + \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

x2 liefert mir nix im normalen zahlenbereich. die complexenzahlen sind bei der aufgabe ausgeschloßen, wenn ich jetzt die 1 einsetze in die ursprungsformel passt das. bei der -1 aber nicht.

wieso?

08.12.2007, 16:33

Joefish

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moment... hab mich grad total geirrt unglücklich

unglücklich

08.12.2007, 16:45

Bert

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RE: nullstellen bestimmen

Zitat:

Original von special-k
ich mach was falsch....

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{7,2x^4-4.8x^2-2.4}{(x^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=7,2x^4-4.8x^2-2.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=7,2u^2-4.8u-2.4 \end{eqnarray*}$

x1 = $\begin{eqnarray*} -(\frac{-(\frac{2}{3})}{2}) + \sqrt{(\frac{-(\frac{2}{3})^2}{2}) + \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

x2 = x1 = $\begin{eqnarray*} -(\frac{-(\frac{2}{3})}{2}) - \sqrt{(\frac{-(\frac{2}{3})^2}{2}) + \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

0=7,2*u^2-4,8*u-2,4 hat zwei Lösungen:
u1=-1/3
u2=1

08.12.2007, 16:52

Joefish

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Er/Sie hat schon rücksubstituiert.
$\begin{eqnarray*} u_1 = 1 \vee u_2 = - \frac 13 \\ x_{1/2}= \pm 1 \vee x_{3/4} = \pm \sqrt{-\frac 13} \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 17:13

Bert

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Zitat:

Original von Joefish
Er/Sie hat schon rücksubstituiert.

Ich weiß, ich wollte, daß er/sie sich den Definitionsbereich anguckt ...

08.12.2007, 18:05

special-k

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ja, wurzel aus -1/3 funktioniert aber nicht, ohne komplexe zahlen zu mindest.

für -1 klappt die einsetzprobe nicht. nur für 1 funktioniert die einsetzprobe. daher dachte ich mir, ich mach was falsch?

08.12.2007, 18:21

Bert

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Die Gleichung
0=(7.2*x^4-4.8*x^2-2.4)
hat zwei Lösungen:
x1=1 und x2=-1

Diese Lösung aber liegt außerbalb des Definitionsbereichs der Gleichung:
0=(7.2*x^4-4.8*x^2-2.4)/((x^2-1)^4)
(der Nenner ist = 0 für x=1 oder x=-1; und Division durch Null ist nicht definiert)

ergo:
0=(7.2*x^4-4.8*x^2-2.4)/((x^2-1)^4)

09.12.2007, 14:37

special-k

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d.h. es gibt keine nullstellen oder was willst du mir sagen?

wieso is das die nullstell verwirrt

verwirrt

*total verwirt bin*)
0=(7.2*x^4-4.8*x^2-2.4)/((x^2-1)^4)

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