Grenzwerte von Reihen

08.12.2007, 14:56

Lily88

Grenzwerte von Reihen

Hallo

Bin im ersten Semester Mathe & hab jetzt gerade AnalysisI. Leider komme ich diese Woche mit den Hausaufgaben nicht weiter...

Und zwar sind (ua) folgende 2 Aufgaben gegeben:

Berechnen sie die Grenzwerte folgender Reihen:

1.) Summe von k=0 bis unendlich : (2+(-1)^k)/((k+1)!)

meiner meinung nach ist das ganze ne exponential-reihe(?), also summe k=0 bis unendlich: x^n/n!

hab folgenden ansatz dazu:
quotienten-kriterium angewendet.
| (2+(-1)^k+1)/(k+2)! * (k+1)!/2+(-1)^k |
=
| 2+(-1)^k+1/k+2 * 1/2+(-1)^k |
=
| 2 * (-1)^k+1/k+2 * 1/2+(-1)^k

und wie gehts jetz weiter? iwann müsste ich ja auf e kommen oder?

2.) summe k=0 bis °° : summe j=0 bis k : (k über j) (1/2^j+k)

müsste sich um ne geometrische reihe handeln.

hier habe ich nur den ansatz, dass ich auch schreiben kann:
summe k=0 bis °° : ((k über j) * summe j=0 bis k : (1/2^j+k)

men problem bei der 2. is, dass ich nicht weiß, wie ich k über j umformen kann, da wir sowas noch nie gemacht haben unglücklich

wäre für hilfe sehr dankbar Big Laugh

Lily

08.12.2007, 15:12

klarsoweit

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RE: Grenzwerte von Reihen
Bitte Latex verwenden. Vermutlich geht es um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{2+(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\left( \sum_{j=0}^k~\binom k j~\frac{1}{2^{j+k}} \right) \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Summe kannst du den Bruch auseinander ziehen und du kommst dann auf geeignete Exponentialreihen.

Bei der zweiten Summe muß ich selbst noch überlegen.

EDIT: Tipp zur 2. Summe: Die innere Summe kann man so umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^k~\binom k j~\frac{1}{2^{j+k}} = \frac{1}{2^k} \cdot \sum_{j=0}^k~\binom k j~(\frac{1}{2})^j \cdot 1^{k-j} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mal an die binomische Formel denken. Augenzwinkern

08.12.2007, 15:14

tmo

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zur 1)

mit exponentialreihe liegst du schonmal nicht schlecht.

du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2+(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

forme die folge ein bisschen um und wende dann

$\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

an.

08.12.2007, 15:18

Lily88

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RE: Grenzwerte von Reihen
tut mir leid, kenne mich mit latex nicht aus unglücklich

bei der
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{2+(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$
geht dein tip von der ausgangsform aus oder von meinem umgeformten? weil bei letzterem krieg ich das nicht auf die reihe...

wenn ersteres der fall ist, müsste ich dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ haben, aber das sind beides keine exponentialreihen, weil beim 1. gar kein ^n exisitert und bim zweiten das ^k nicht im nenner steht... hab (wie man wohl merkt unglücklich

) grad ein ziemliches brett vorm kopf

08.12.2007, 15:20

klarsoweit

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RE: Grenzwerte von Reihen

Zitat:

Original von Lily88
wenn ersteres der fall ist, müsste ich dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ haben, aber das sind beides keine exponentialreihen, weil beim 1. gar kein ^n exisitert und bim zweiten das ^k nicht im nenner steht.

Irrtum. Im Zähler steht - wenn man so will - immer 1^n bzw. in diesem Fall 1^k. Und warum muß ^k im Nenner stehen? verwirrt

Zur zweiten Summe habe ich oben noch was geschrieben.

08.12.2007, 15:25

Lily88

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die exponentialreihe ist doch so definiert: $\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

muss dann nich die fakultät im nenner die gleiche zahl sein wie der exponent im zähler? verwirrt

08.12.2007, 15:27

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} xe^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!} \end{eqnarray*}$

08.12.2007, 15:28

klarsoweit

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Und wo ist das Problem? verwirrt

Schreibe:

$\begin{eqnarray*} (-1)^k = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)^k = -1 \cdot (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$

Also ein Hochschüler müßte sowas schon aus dem Ärmel schütteln können.

Beachte, daß du bei deiner Reihe noch den Summationsindex verschieben mußt.

08.12.2007, 18:08

Lily88

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habe jetz versucht die 1. aufgabe unzuformen... lande da bei

2*e-2*e^-1

ist das so richtig? eigentlich müsste nämlich 2e-2 rauskommen unglücklich

das ist ja leider nicht das gleiche traurig

hab folgendermaßen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(k+1)!} + \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{(k+1)!} + (-1) * \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1^{k+1}}{(k+1)!} + (-1) * \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

dann das ganze in die formel für xe^x eingesetzt und aufgelöst...

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

08.12.2007, 20:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lily88
habe jetz versucht die 1. aufgabe unzuformen... lande da bei

2*e-2*e^-1

ist das so richtig? eigentlich müsste nämlich 2e-2 rauskommen unglücklich

das ist ja leider nicht das gleiche traurig

Es kommt raus: $\begin{eqnarray*} 2e - \frac{1}{e} - 1. \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 11:00

Lily88

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ist damit denn die aufgabe richtig gelöst!? eine kommilitonin hat mir nämlich gesagt (ohne lösungsweg), das ergebnis sei 2e -2

09.12.2007, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lily88
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1^{k+1}}{(k+1)!} + (-1) * \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

dann das ganze in die formel für xe^x eingesetzt und aufgelöst...

Das paßt natürlich nicht so ganz auf die Formel, die WebFritzi angegeben hat. Bei dir steht ein (k+1)! im Nenner, nicht ein k!.

Damit das Elend ein Ende hat:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{(k+1)!} - \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} = 2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k!} - \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k!} = 2 \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!} - 2 - \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k!} + 1 \end{eqnarray*}$

EDIT: wie man sieht, ist das Ergebnis von WebFritzi richtig.

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