Lösen einer Differntialgleichung

08.12.2007, 20:09	Riti	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Differntialgleichung Hallo, ich habe die folgende Differntialgleichung gegeben, welche die Vibrationen in einem harmonischem Oszillator beschreibt: µ(d²x/dt²) + kx = 0 Deren Lösung soll sein: x(t)= Asin(wt) + B*cos(wt) mit w = (k/µ)^1/2 Meine Frage ist jetzt wie man von der DGL oben auf die allgemeine Lösung kommt? Komme da nämlich überhaupt nicht weiter. Ich wäre sehr dankbar wenn da jemand weiter weiß. Grüße Riti
08.12.2007, 22:10	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich geh mal von $\begin{eqnarray} \mu\neq 0 \end{eqnarray}$ aus, dann ist $\begin{eqnarray} x''+\frac{k}{\mu}x=0 \end{eqnarray}$ nun was ist die allg Lsg von dieser DGL?
09.12.2007, 12:23	Riti	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Differntialgleichung Man benötigt nun Funktionen für x, welche die notwendigen Bedingungen erfüllen. Das sind sin(x) bzw. cos(x). Demnach kommt man auf x(t)= Asin(wt) + Bcos(wt) als Lösung. Aber wie sehen die Zwischenschritte aus um hierher zu gelangen?
09.12.2007, 12:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
man soll das charakteristische polynom betrachten: $\begin{eqnarray} p(\lambda)=\lambda^2+c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c=\frac{k}{\mu} \end{eqnarray}$ das polynom hat die nullstellen $\begin{eqnarray} \lambda_1=i\sqrt{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=-i\sqrt{c} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ der imaginären einheit. dann ist $\begin{eqnarray} \{e^{i\sqrt{c}},e^{-i\sqrt{c}}\} \end{eqnarray}$ ein komplexes lösungsfundamentalsystem. wenn man nun daraus ein relles lösungsfundamentalsystem bestimmt kommt man genau auf die angegebenen $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ funktionen

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