Nullmengen

09.12.2007, 14:45

Studentin_Anne

Nullmengen

Hallo, könnte mir jemand nen Tipp geben, wie ich weiterkomme:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \sigma(\mathcal{E}) \end{eqnarray*}$ und einem geeigneten Erzeuger $\begin{eqnarray*} \mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Gilt nun folgendes?

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist Nullmenge, dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine Familie $\begin{eqnarray*} \left\{A_i | i \in I \right\} \end{eqnarray*}$ mit einer höchstens abzählbaren Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} N \subset \bigcup\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i \in I} \mu(A_i) < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich bin der Meinung, dass dies stimmt. Also muss ich doch zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ eine Familie finden.
Ich weiß dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Nullmenge, also $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie komme ich nun auf diese Familie?

Danke für Eure Hilfe... Gruß Anne

09.12.2007, 15:32

Tipp

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Nein, diese Behauptung gilt nicht...

09.12.2007, 18:56

WebFritzi

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Wähle I = {1} und $\begin{eqnarray*} A_1 = N. \end{eqnarray*}$ Oder sollen die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{E} \end{eqnarray*}$ gewählt werden?

09.12.2007, 19:15

Studentin_Anne

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ja, hab ich vergessen...

$\begin{eqnarray*} \left\{A_i | i \in I \right\} \subset \mathcal{E} \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 21:02

Studentin_Anne

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Ich habs alleine geschafft... trotzdem danke für Eure Hilfe smile