Kommutatorgruppe

09.12.2007, 15:34

Problem

Kommutatorgruppe

Hallo,

mir fehlt noch ein Teil einer Übungsaufgabe, den ich irgendwie nicht hinbekomme. Ich muss noch zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} S'_n \geq A_n \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} S'_n \end{eqnarray*}$ die Kommutatorgruppe. Die andere Inklusionsrichtung habe ich schon. Ich hätte nur eine Idee:

Wenn $\begin{eqnarray*} a \in A_n \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} a=a^{-1}b^{-1}ab \end{eqnarray*}$ sein soll, muss $\begin{eqnarray*} a^2=b^{-1}ab \end{eqnarray*}$ sein. Zwei Permutationen sind aber nur dann konjugiert, wenn sie gleiche Zykellänge besitzen. Aber das ist ja z.B. bei den Involutionen nicht gegeben. Andererseits muss es aber doch stimmen, denn die Aussage $\begin{eqnarray*} S'_n = A_n \end{eqnarray*}$ ist ja richtig.

Kann mir jemand helfen?

09.12.2007, 15:41

therisen

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RE: Kommutatorgruppe

Zitat:

Original von Problem
Wenn $\begin{eqnarray*} a \in A_n \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} a=a^{-1}b^{-1}ab \end{eqnarray*}$ sein soll, muss $\begin{eqnarray*} a^2=b^{-1}ab \end{eqnarray*}$ sein.

Hier liegt dein Denkfehler. Es muss nur $\begin{eqnarray*} x,y\in S_n \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} a=[x,y] \end{eqnarray*}$ .

Wenn man weiß, dass der einzige nichttriviale Normalteiler von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die alternierende Gruppe $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} S'_n \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, braucht man nichts mehr zu zeigen.

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