Orthogonale Eigenvektoren

09.12.2007, 20:47

Chris1987

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Orthogonale Eigenvektoren

Hallo,
ich habe mal eine allgemeine Frage...

Angenommen man habe eine symmetrische $\begin{eqnarray*} 3\times 3 -Matrix \end{eqnarray*}$ mit "2 gleichen Eigenwerten" (Lösen des charakteristischen Polynoms hat eine Doppelnullstelle) und die Aufgabe bestünde darin, ein System aus 3 orthogonalen Eigenvektoren zu bestimmen !
Wie geht man dort vor nachdem man die Eigenwerte bestimmt hat, und die 2 Eigenvektoren ( 1 von einem Parameter Abhängig, der andere von 2 Parametern abhängig)

Über Hilfe würde ich mich freuen =) Falls jemand die Frage bzw. die Angaben nicht ganz verstanden hat bitte bescheid sagen, dann probier ich mich nochmal ein bischen besser auszudrücken ...

09.12.2007, 20:56

tigerbine

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RE: Orthogonale Eigenvektoren
Die Matrix ist symmetrisch. Hat sie vollen Rang? D Willst Du sie diagonalisieren, oder warum die Suche nach den orthogonalen Vektoren?

09.12.2007, 20:59

Chris1987

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ich möchte die eigenvektoren, weil es die Aufgaben so sagt^^
Ja, Rang ist 3

09.12.2007, 21:01

tigerbine

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Dann gib doch einmal die Matrix an. Und die Aufgabe sagt, das 2 oder 3 orthogonal seinen sollen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.12.2007, 21:03

Chris1987

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Also die Matrix ist: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Aufgabe: Bestimmen Sie ein System aus drei orthogonalen Eigenvektoren

09.12.2007, 21:14

tigerbine

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Könntest du denn "normal" die Eigenvektoren bestimmen? Orthogonal sollen sie sein, ok. Da es einen "D Eigenraum gibt, solltest Du zunächst den einzelnen EV bestimmen.

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09.12.2007, 21:17

Chris1987

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also ich habe :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=3;\lambda_{2/3}=-3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x^{(1)}}= a\begin{pmatrix} - 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};\vec{x^{(2)}}= \begin{pmatrix} b+c\\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 21:31

tigerbine

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Maple sagt das die EV lauten:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-3,~\lambda_2=1+2\sqrt{2},~\lambda_3=1-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Der Eigenvektor zu -3 lautet:

$\begin{eqnarray*} v_1=(1,1,0)^T \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 21:34

Chris1987

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Au nein, trotz mehrmaligen korrekturlesen, hat sich doch ein fehler eingeschlichen... a33 ist in der Matrix -1 und nicht wie vorher 1. Entschuldigung... somit haben wir ja dann doppelnullstellen...

09.12.2007, 21:44

tigerbine

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Ok, dann stimmen die EW

$\begin{eqnarray*} v_1=(-1,1,1)^T \end{eqnarray*}$

Deinen Ansatz mit b und c verstehe ich im Moment nicht.

09.12.2007, 21:55

Chris1987

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$\begin{eqnarray*} B=A-3E=\begin{pmatrix} 2 &-2 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit Gauß-Algorithmus und $\begin{eqnarray*} x_2=b;x_3=c \end{eqnarray*}$

komme ich zu $\begin{eqnarray*} x_1=x_2+x_3=b+c \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} b+c \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 22:13

tigerbine

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Also zumindest ist der zugehörige Eigenraum 2D. Also nehmen wir einmal konkrete Werte, dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} v_2=(1,1,0)^T,~v_3=(1,0,1)^T \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} <v_1,v_2> = -1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <v_1,v_3> = -1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <v_2,v_3>= 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Also Wie muss man v_3 anpassen? Es muss eine LK aus v_2 und v_3 sein, die orthogonal auf v_1 und v_2 steht. Dröseln wir das nun zusammen, so kommen wir auf deinen Vektor.

$\begin{eqnarray*} \hat v_3 = (b+c,b,c)^T \end{eqnarray*}$

Es folgt die Bedingung

$\begin{eqnarray*} <v_1,v_3> = -1\cdot (b+c) + 1\cdot b + 1\cdot c \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

D.h. v_1 steht orthogonal auf jedem Vektor des 2D Eigenraums. Nun weiter:

$\begin{eqnarray*} <v_2,v_3>= 1\cdot (b+c) + 1\cdot b + 0 \cdot c \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Macht

$\begin{eqnarray*} c = -2b \end{eqnarray*}$

Probe für b=1, c=-2

$\begin{eqnarray*} <v_2,v_3>= 1\cdot (-1) + 1\cdot (1) + 0 \cdot (-2) = 0 \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 22:17

Chris1987

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Ja ok, danke für die Mühe... aber eigentlich wollte ich es nicht nur genau an diesem beispiel machen... Geht man allgemein so vor ?

09.12.2007, 22:24

tigerbine

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Allgemein solltest Du überlegen, ob die Eigenräume orthogonal sind. Dann musst du nämlich nur in jedem Eigenraum im Grunde das Gram-Schmidt-Verfahren zur Bestimmung einer ONB anwenden.

09.12.2007, 22:34

Chris1987

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hmmmm... das Gram-Schmidt-Verfahren kenn ich nicht und die erklärungen im internet sind auch nicht sonderlich leicht ! waren denn die eigenräume in dem fall orthogonal ? und welche eigenräume ? die 3 Vektoren spannen doch 3 "Räume " oder ?

09.12.2007, 22:40

tigerbine

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Mmh, da fehlen Dir wohl noch einige Begriffe. Man nennt den Raum, den die Eigenvektoren eines Eigenwerts aufspannen den zugehörigen Eigenraum. Hier haben wir 2 Eigenräume, da 2 Eigenwerte. Die Dimension dieser Eigenräume ist die geometrische Vilefachheit eines Eigenwertes wohingegen seine Potenz im char. Polynom seine algebraische Vielfachheit ist.

Wir haben hier einen 1D und einen 2D Eigenraum. Dem Link ganz oben entnimmst Du, dass die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bei symmetrischen Matrizen orthogonal sind. Ein Beweis sollte sich in deinem Skript finden. Es läßt sich damit auch zeigen, dass die Eigenräume orthogonal sind. Im Grunde über die Idee wie ich es im Beispiel vorgerechnet habe.

09.12.2007, 22:51

Chris1987

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gut, jetz habe ich hier als 2 orthogonale eigenräume... einen 1-D (zu EW=-3) und einen 2-D (zu EW=-3)

hast du jetz in dem Fall das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet ?
Du hast doch im Prinzip nur die Orthogonalbedingungen des Skalarprodukts benutzt...
Wenn nicht, könntest du mir eventuell mal kurz zeigen, wie man die Aufgabe damit lösen würde...

09.12.2007, 22:54

tigerbine

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Ich habe Gram Schmidt nicht benutzt. Nur Du hattest nach einer "allgemeingültigen" Methode gefragt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmid...erungsverfahren

09.12.2007, 23:08

Chris1987

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Zitat:

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren ein Orthonormalsystem von n normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

und was sind in dem fall meine Vektoren, mit denen ich das verfahren starte ?

09.12.2007, 23:10

tigerbine

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Ein beliebiger aus einen Eigenraum. Z.B. v_2

09.12.2007, 23:17

Chris1987

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gut also $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber in beiden Vorgehensweisen bei wikipedia soll ich ja $\begin{eqnarray*} <v_2,u_1=v_1> \end{eqnarray*}$ bilden um den "neuen"Vektor heraus zu bekommen. Aber das ist doch 0, also was bringt mir das traurig

traurig

verwirrt

09.12.2007, 23:18

tigerbine

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Nein, wir müssen doch nur noch v3 anpassen. v1 liegt doch in einem anderen Eigenraum.

09.12.2007, 23:41

Chris1987

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aja ok...
also wärs in dem Fall...
$\begin{eqnarray*} u_1=v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ;v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2=v_2 - \frac{<u_1,u_2>}{<u_1,u_1>}u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2007, 23:50

tigerbine

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Der ist aber nicht orthogonal zu v1 verwirrt

verwirrt

Da sind Rechenfehler drin.

09.12.2007, 23:53

Chris1987

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ne nicht zu v1 wie ich ihn da genannt habe, aber zu v1=(-1,1,1)^T im vorigen rechenverlauf

10.12.2007, 00:08

tigerbine

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Ja, aber das sind sie doch alle geschockt

geschockt

10.12.2007, 00:12

Chris1987

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häää,

also nach der gemachten rechnung hätte ich raus:

$\begin{eqnarray*} v_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ;v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};v_3*=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt nur durch zufall richtig ( alle 3 orthogonal) oder war der rechenweg richtig ?

10.12.2007, 00:26

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} v_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ;u_1=v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2=v_3 - \frac{<u_1,v_3>}{<u_1,u_1>}u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und den kennen wir schon.

10.12.2007, 11:28

Chris1987

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Aber das ist doch im Prinzip das gleiche, was ich auch gemacht habe, nur dass ich $\begin{eqnarray*} u_1=v_3 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe und dann gerechnet $\begin{eqnarray*} u_2=v_2-\frac{<u_1,v_2>}{<u_1,u_1>}u_1 \end{eqnarray*}$ gerechnet habe... oder ? ist das nicht erlaubt ?

Außerdem:

Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix} = -2\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du hier nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ "ausgeklammert" und nicht -2 ?

10.12.2007, 11:56

tigerbine

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Editiert. Danke. Dein Fehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} u_2=v_2 - \frac{<u_1,u_2>}{<u_1,u_1>}u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}=\underline{\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hast Du Dich verrechnet. Ich habe bei meine Bezeichnungen nur der Aufgabe angepasst, damit wir keine Doppelbezeichnungen haben.

10.12.2007, 17:12

Chris1987

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okok, klar, blöder Schusselfehler ...

Anfang:
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};v_2=u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
besser:

$\begin{eqnarray*} u_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};u_1=v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};u_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So alles richtig ?

10.12.2007, 17:25

tigerbine

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Ja

10.12.2007, 18:17

Chris1987

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Dank dir für die Mühe und sry wegen den Schusselfehlern^^

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