Cantorsches Diskontinuum

10.12.2007, 14:02

dhoernchen

Cantorsches Diskontinuum

Vielleicht bekomme ich ja jetzt mal etwas Hilfe.
Also, folgendes ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{C} \end{eqnarray*}$ bezeichne das Cantorsche Diskontinuum
Die Menge $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{C} \end{eqnarray*}$ besteht aus den reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{a} \end{eqnarray*}$ der Form $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{a}=\sum_{k=1}^\infty~ \frac{a_k}{3^k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k \in \end{eqnarray*}$ {0,2} für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung wurde schon definiert, das $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{C} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ kompakten Intervallen besteht, die die Länge $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$ haben, also dass die Gesamtlänge der $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Intervalle $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^k \end{eqnarray*}$ ist.

Meine erste Vermutung war, dass ich einfach $\begin{eqnarray*} a_k=2^k \end{eqnarray*}$ definiere und das dadurch der Beweis getan ist. Dazu wollte ich noch die Zeichnung machen, wie sich das Cantorsche Diskontinuum aufbaut. Aber irgendwie sagt mir irgendetwas, dass das so nicht ganz richtig sein kann.

Vielleicht könnt ihr mir ja etwas dazu sagen.

MfG
dhoernchen

10.12.2007, 14:40

therisen

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RE: Cantorsches Diskontinuum

Zitat:

Original von dhoernchen
In der Vorlesung wurde schon definiert, das $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{C} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ kompakten Intervallen besteht, die die Länge $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$ haben, also dass die Gesamtlänge der $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Intervalle $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^k \end{eqnarray*}$ ist.

Nein, das stimmt nicht, wenn C das Cantorsche Diskontinuum bezeichnet. Lies doch einfach den Wikipedia-Artikel: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsches_Diskontinuum

10.12.2007, 14:44

dhoernchen

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das hab ich doch schon gemacht... es bringt mich aber auch nicht weiter

und die definition aus der vorlesung wird ja wohl richtig sein... sie unterscheidet sich keineswegs von der von wikipedia...

10.12.2007, 15:01

therisen

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Das Cantorsche Diskontinuum enthält überhaupt keine Intervalle. Zufällig haben wir das in der letzten Übung behandelt. Dort steht auch nochmal etwas allgemeiner erklärt, wie ein Cantorsches Diskontinuum entsteht: http://www-lm.ma.tum.de/an3m078/aufgaben/blatt07.pdf

10.12.2007, 15:06

dhoernchen

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Zitat:

Original von therisen
Das Cantorsche Diskontinuum enthält überhaupt keine Intervalle. Zufällig haben wir das in der letzten Übung behandelt. Dort steht auch nochmal etwas allgemeiner erklärt, wie ein Cantorsches Diskontinuum entsteht: http://www-lm.ma.tum.de/an3m078/aufgaben/blatt07.pdf

hmm.. vielleicht solltest du dir das vorlesungsskript genauer durchlesen... da kommt schon das wort intervall drin vor Augenzwinkern

außerdem ist analysis III viel zu hoch für mich unglücklich

10.12.2007, 15:12

therisen

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Zitat:

Original von dhoernchen
hmm.. vielleicht solltest du dir das vorlesungsskript genauer durchlesen... da kommt schon das wort intervall drin vor Augenzwinkern

Ich glaube eher, dass du nicht in der Lage bist, dein Vorlesungsskript richtig zu lesen.

Zitat:

Man beginnt mit dem Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt (weggewischt), also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen.

Im Folgenden wird aus allen vorhandenen Intervallen jeweils das mittlere Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.

Es ist also $\begin{eqnarray*} C=\bigcap_{n=1}^\infty C_n \end{eqnarray*}$ . Jedes $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ besteht aus $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ kompakten Intervallen.

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