Iterationsfunktion der Form T(x)=x

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10.12.2007, 16:05	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
Iterationsfunktion der Form T(x)=x Hallo ich habe da zwei Funktionen $\begin{eqnarray} f_{(x)}=-0.5\cos{(x)}-0.5=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{(x)}= \frac{\sin(x)-x\cos(x)}{x}-1=0 \end{eqnarray}$ . Diese Funktionen haben die Lösung x=pi. Nun soll ich diese Funktionen auf die Iterationsfunktion der Form $\begin{eqnarray} T_{(x)}=x \end{eqnarray}$ bringen sowie die Konvergenzbedingung in nähe der Lösung untersuchen. g(x) umgeformt: $\begin{eqnarray} x= \frac{\sin(x)-1}{\cos(x)} \end{eqnarray}$ f(x) umgeformt: $\begin{eqnarray} x= \arccos(-0.5) \end{eqnarray}$ Wäre schön wenn mir jemand sagen könnte ob das soweit schon mal richtig ist.Bei der Umformung von f(x) bin ich mir nicht sicher weil das eigentlich ja wieder eine Funktion werden müsste die von x abhängt oder?Und wie ich auf Konvergenz in nähe der Lösung x=pi untersuchen soll weis ich leider nicht. Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke sven
10.12.2007, 17:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Deine Begriffswahl verstehe ich nicht. Du hast gegeben $\begin{eqnarray} f(x)=-0.5 \cdot \cos{(x)}-0.5 = -0.5 \cdot (\cos(x) + 1) \end{eqnarray}$ Von dieser suchst Du die Nullstellen. Elementare Geometrie kann hier wieder helfen und liefert (bis auf Periode!) $\begin{eqnarray} x=\pi \end{eqnarray}$ Nun sollst Du anstelle des Nulllstellenproblems ein Fixpunktproblem betrachten. Nur hast Du uns noch nicht gesagt, wie Du "umstellen" sollst. Betrachten wir die Funktion $\begin{eqnarray} h(x):=x-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray}$ Die "erinnert" an die Rekursionsvorschrift des Newton-Verfahrens. Für die einfache Nullstelle x* der Funktion f liegt bei der Funktion h ein Fixpunkt vor. Nun hast Du uns noch vorenthalten, was Du unter "Konvergenzbedingungen" verstehst. Bei Fixpunkten würde mir der Banasche Fixpunktsatz einfallen...
10.12.2007, 17:49	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x wir sollen g(x)=0 und f(x)=0 jeweils hach x umstellen,daraus erhält man jeweils eine Funktion T(x)=x die gesuchte Iterationsfunktion. Nun soll man die Konvergenzbedingung in der nähe der Lösung x=Pi untersuchen.
10.12.2007, 17:55	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Wenn man g(x) umformt erhätman die Iterations funktion: x_{n+1}=\frac{\sin(x_n)-1}{\cos(x_n)}
10.12.2007, 17:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Und was sind Konvergenzbedingungen? Hast Du nicht einmal ein Beispiel wie ihr das machen sollt.
10.12.2007, 17:55	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Sorry!meinte $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{\sin(x_n)-1}{\cos(x_n)} \end{eqnarray}$
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10.12.2007, 17:57	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Hab da leider kein Beispiel zu
10.12.2007, 18:01	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Banasche Fixpunktsatz das müsste es sein,aber ich weis nicht wie der lautet. Wäre schön wenn du ihn mir mal erläutern könntest dann würd ich es ma damit probieren.
10.12.2007, 18:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Bei der Funktion 1 läßt es sich ja direkt umstellen. $\begin{eqnarray} 0.5 \cdot \cos{(x)}-0.5 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos{(x)} \stackrel{!} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x= \arccos(1) \end{eqnarray}$ Das hängt die rechte Seite nicht mehr von x ab. Also ist T eine Konstante Funktion. Konvergiert "sofort" $\begin{eqnarray} g{(x)}= \frac{\sin(x)-x \cdot \cos(x)}{x}-1\stackrel{!}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(x)-x \cdot \cos(x)\stackrel{!}=x \end{eqnarray}$ Oder $\begin{eqnarray} \sin(x)\stackrel{!}=x+x \cdot \cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(x) \stackrel{!}=x(1+\cos(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \stackrel{!}=x \end{eqnarray}$ Nun musst Du aber doch irgendwelche Kriterien kennen, wie man eine Fixpunktiteration untersucht. Den Banach kannst du bei wikipedia nachlesen, das schreibe ich nicht ab.
10.12.2007, 18:46	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Ich hab mir das eben mal durchgelesen unter Banachscher Fixpunktsatz. Ich versteh davon ehrlich gesagt nicht so viel.Könntest du mir bitte etwas helfen?
10.12.2007, 18:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Dazu fehlt mir im Moment die Zeit. Vielleicht kann dir jemand anderes weiterhelfen.
10.12.2007, 19:35	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsfunktion der Form T(x)=x Ich hab da folgendes gefunden: Eine konvergente Iterationsformel $\begin{eqnarray} x_{n-1}=g(x_n) \end{eqnarray}$ liegt dann vor wenn $\begin{eqnarray} \mid g'(x) \mid \leq p<1 \end{eqnarray}$ ist. Was muss man den nun für p einsetzen?

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