Beispiel zu Ebenen und Geraden

10.12.2007, 16:22

Smith

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Beispiel zu Ebenen und Geraden

Hallo!
Ich bräuchte bitte Hilfe zu einer Aufgabenstellung bei einem Hausübungsbeispiel.
Das Beispiel lautet:
Gegeben sind die Punkte A(7|-3|-2), B(11|5|-2), C(5|-5|1), P(20|1|14), G(0|-25|4), H(-1|-28|4) und N(0|2|2).
Die Ebene $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ geht durch die Punkte A,B und C; die Ebene $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ geht durch den Punkt P und ist zur Ebene $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ parallel.
Die Gerade g geht durch die Punkte G und H. Die Gerade n geht durch den Punkt N und ist zur Ebene $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ normal.

a) Wie lauten die Gleichungen der Ebenen $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ ?
b) Berechne die Schnittpunkte ( $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{2} \end{eqnarray*}$ ) der Geraden n mit den Ebenen $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ !
c) Von welchen Punkten $\begin{eqnarray*} S_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_{2} \end{eqnarray*}$ der Geraden g erscheint die Strecke F1F2 unter rechten Winkeln?
d) Berechne den Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ und g!

a) und b) habe ich schon berechnet:
a)
$\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ :
6x-3y+2z=47
$\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ :
6x-3y+2z=145

b)
F1(6|-1|4)
F2(18|-7|8)

d) schaffe ich auch, nur bei c) finde ich keinen Ansatz bzw. habe keine Idee wie ich vorgehen muss.
Könnte mir da jemand helfen? Wäre toll!
Danke!

10.12.2007, 16:28

Philipp Imhof

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RE: Beispiel zu Ebenen und Geraden
Habe deine Lösungen nicht kontrolliert.

Für c) kommt mir spontan der Thaleskreis in den Sinn.

10.12.2007, 17:03

Smith

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den kenne ich noch nicht!
muss irgendwie anders auch gehen.
hat sonst jemand eine idee?

10.12.2007, 18:01

Smith

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Hat niemand eine Idee? Gott

Gott

10.12.2007, 18:22

riwe

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thaleskreis war schon ok.
dann nimmst halt in R3 die thaleskugel unglücklich

unglücklich

10.12.2007, 18:23

Smith

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ich kenne den Thaleskreis/die Thaleskugel aber noch nicht! Haben wir noch nicht gelernt..

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10.12.2007, 18:34

riwe

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Zitat:

Original von Smith
ich kenne den Thaleskreis/die Thaleskugel aber noch nicht! Haben wir noch nicht gelernt..

dass du die T-kugel nicht kennst, das glaube ich dir, denn das ist meine kreation in anlehnung an den thaleskreis,
das mit dem thaleskreis eher nicht unglücklich

unglücklich

das hast du eher schon wieder vergessen:
"jeder winkel im halbkreis ist ein rechter...."

bastle eine kugel mit dem mittelpnukt der strecke $\begin{eqnarray*} \overline{F_1F_2} \end{eqnarray*}$ als mittelpunkt und der halben strecke als radius
und schneide sie mit g.

möglicherweise kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 12 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix})²=49 \end{eqnarray*}$

als parameter der beiden schnittpunkte habe ich damit
$\begin{eqnarray*} t_1=9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2=6 \end{eqnarray*}$ erhalten verwirrt

verwirrt

10.12.2007, 18:59

Smith

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ich blicke da garnicht durch...sorry!
bist du sicher dass es keine andere möglichkeit gibt außer den thaleskreis?
und wie soll ich den kreis mit g schneiden??

10.12.2007, 19:10

riwe

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Zitat:

Original von Smith
ich blicke da garnicht durch...sorry!
bist du sicher dass es keine andere möglichkeit gibt außer den thaleskreis?
und wie soll ich den kreis mit g schneiden??

das ist kein kreis sondern eine kugel unglücklich

unglücklich

und die kugel schneidest du genau wie eine ebene oder anderes zeug, indem du für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzt Big Laugh

Big Laugh

dann nimm halt das skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0 \\ -25 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix})(\begin{pmatrix} 0 \\ -25 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 18 \\-7 \\ 8 \end{pmatrix}) =0 \end{eqnarray*}$

10.12.2007, 19:12

Smith

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ja, das weiß ich schon wie man sie schneidet...aber wie stelle ich die kugel überhaupt auf?

10.12.2007, 19:19

riwe

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Zitat:

Original von Smith
ja, das weiß ich schon wie man sie schneidet...aber wie stelle ich die kugel überhaupt auf?

wieso fragst du dann verwirrt

verwirrt

na egal

die gleichung der kugel habe ich dir schon oben hingemalt Big Laugh

Big Laugh

kugel K mit mittelpunkt M und radius r

vektoriell:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\vec{m} )²=r² \end{eqnarray*}$

ausgeschrieben/analytisch:

$\begin{eqnarray*} (x_1-m_1)²+(x_2-m_2)²+(x_3-m_3)²=r² \end{eqnarray*}$

ganz analog zum kreis in R2
zufrieden verwirrt

verwirrt

10.12.2007, 19:23

Smith

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Zitat:

Original von riwe
dann nimm halt das skalarprodukt:

aaaaah! also kann ich es ja auch so machen:
$\begin{eqnarray*} \vec{F_1F_2} \end{eqnarray*}$ steht normal auf $\begin{eqnarray*} \vec{OS} \Rightarrow \vec{F_1F_2} * \vec{OS}= 0 \end{eqnarray*}$

oder?

edit:
kannst du mir sagen was bei dir für S1 und S2 rauskommt?
danke

10.12.2007, 19:54

riwe

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Zitat:

Original von Smith

Zitat:

Original von riwe
dann nimm halt das skalarprodukt:

aaaaah! also kann ich es ja auch so machen:
$\begin{eqnarray*} \vec{F_1F_2} \end{eqnarray*}$ steht normal auf $\begin{eqnarray*} \vec{OS} \Rightarrow \vec{F_1F_2} * \vec{OS}= 0 \end{eqnarray*}$

oder?

edit:
kannst du mir sagen was bei dir für S1 und S2 rauskommt?
danke

ne das ist käse, junger mann. unglücklich

unglücklich

richtig ist
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SF_1}\cdot\overrightarrow{SF_2}=0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} S \in g \end{eqnarray*}$

du siehst ja die streckke $\begin{eqnarray*} \overline{F_1F_2} \end{eqnarray*}$ unter einem rechten winkel.

und bitte lies halt, was ich dir schreibe.

1) da steht schon das skalarprodukt - vorletzter beitrag Big Laugh

Big Laugh

2) da stehen schon die beiden parameterwerte - vorvorletzter beitrag Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

die mußt du nur in die geradengleichung einsetzen.
diese mühe gehört dir

edit: aber frage nur weiter, wenn es noch unklarheiten gibt

10.12.2007, 19:58

Smith

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ok...aber mit
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SF_1}\cdot\overrightarrow{SF_2}=0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} S \in g \end{eqnarray*}$
kann ich mir ja nur S1 berechnen oder? wie bekomme ich S2?

10.12.2007, 20:03

riwe

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Zitat:

Original von Smith
ok...aber mit
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SF_1}\cdot\overrightarrow{SF_2}=0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} S \in g \end{eqnarray*}$
kann ich mir ja nur S1 berechnen oder? wie bekomme ich S2?

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0 \\ -25 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix})(\begin{pmatrix} 0 \\ -25 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 18 \\-7 \\ 8 \end{pmatrix}) =0 \end{eqnarray*}$

löse auf und du hast eine QUADRATISCHE gleichung in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit den ZWEI gesuchten parameterwerten als lösung

11.12.2007, 21:44

Smith

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danke riwe für die hilfe!!
ich habs dann gestern noch geschafft mit den richtigen ergebnissen
vielen dank

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