Volterra'sche Integralgleichung

10.12.2007, 18:29	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Volterra'sche Integralgleichung Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass die folgende Integralgleichung genau eine Lösung $\begin{eqnarray} x\in C[a,b] \end{eqnarray}$ hat: $\begin{eqnarray} y=(Id-K)x \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} K:C[a,b]\to C[a,b], (Kx)(t):=\int_a^t k(s,t)x(s) ds \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ stetig für $\begin{eqnarray} a\leq s\leq t \leq b \end{eqnarray}$ , bei gegebenem $\begin{eqnarray} y\in C[a,b] \end{eqnarray}$ Ich möchte dazu die Neumann'sche Reihe verwenden, dazu muss ich nun nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \\| K^n \\|\leq \mu^n \frac{(b-a)^n}{n!} \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} \mu = \max_{a\leq s\leq t \leq b}\|k(s,t)\| \end{eqnarray}$ Ich habe nun abgeschätzt: $\begin{eqnarray} \\| K^n \\| = \sup_{x, \\| x\\|\leq 1}(\max_{t\in [a,b]} \|(\int_a^t k(s,t) x(s) ds)^n\|) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \sup_{x, \\| x\\|\leq 1}(\int_a^b \|k(s,t)\|\|x(s)\|ds)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \mu^n(b-a)^n \end{eqnarray}$ Wie komme ich an dieses 1/n! ? Das brauche ich, damit die n-te Wurzel von dieser Norm gegen 0 konvergiert, bzw. damit insbesondere der limsup kleiner als 1 ist. mfG 20
10.12.2007, 19:10	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige induktiv: $\begin{eqnarray} \|(K^nx)(t)\| \le \frac{\mu^n (t-a)^n}{n!}\\|x\\|_\infty. \end{eqnarray}$
10.12.2007, 19:14	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich bin ein Depp, das ^n bedeutet ja, dass ich den Operator n mal anwende
10.12.2007, 19:19	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok: IA ist klar, einfach das Integral abschätzen. Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \|(K^{n+1}x)(t)\| \end{eqnarray}$ abschätzen will, dann komme ich immer noch nicht auf das 1/(n+1), was nötig wäre, um 1/(n+1)! zu erreichen... Ich bekomme nur ein mü und ein (t-a) dazu... mfG 20
10.12.2007, 19:30	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ha... 1.) Standard-Integral-Abschaetz-Formel 2.) Induktionsvoraussetzung einsetzen 3.) Konstanten nach vorne schmeissen 4.) billigst integrieren 5.) fertig.
11.12.2007, 10:38	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte vergessen das t durch ein s (also die Integrationsvariable) zu ersetzen Jetzt hab ichs... danke mfG 20
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